Номер 2.46, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.46. Определите указанное расстояние из предыдущей задачи, если $OK = 4$ см, $AB = 5$ см, $AC = 6$ см.

Для решения данной задачи необходимо использовать контекст предыдущей задачи. Как правило, в задачах такого типа рассматривается ситуация, в которой точка O, не лежащая в плоскости треугольника, равноудалена либо от его вершин, либо от его сторон. В условии задачи 2.46 требуется найти "указанное расстояние", что, скорее всего, подразумевает одно из этих равных расстояний.

Наиболее вероятный сценарий, вытекающий из стандартного курса геометрии (например, задачи 2.45 в учебнике Атанасяна), заключается в том, что точка O равноудалена от вершин треугольника ABC. То есть, $OA = OB = OC$. В этом случае ее проекция на плоскость треугольника, точка K, является центром описанной около треугольника окружности. Искомое расстояние — это длина отрезков $OA$, $OB$ и $OC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKA$. В нем катет $OK$ — это расстояние от точки O до плоскости треугольника, а катет $KA$ — это радиус $R$ описанной около $\triangle ABC$ окружности. Искомое расстояние $OA$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$OA^2 = OK^2 + KA^2$, или $OA = \sqrt{OK^2 + R^2}$.

По условию $OK = 4$ см. Для нахождения $OA$ нам нужно определить радиус $R$ описанной окружности. В задаче даны длины только двух сторон треугольника: $AB = 5$ см и $AC = 6$ см. В общем случае для нахождения радиуса описанной окружности требуется знать все три стороны. Тот факт, что третья сторона не задана, с большой вероятностью означает, что треугольник является прямоугольным.

Проверим возможные варианты для прямоугольного треугольника:

• Если катеты — это $AB$ и $AC$, то $\angle A = 90^\circ$. Гипотенуза была бы $\sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25+36} = \sqrt{61}$ см.
• Если гипотенуза — это $AB = 5$ см, а катет — $AC = 6$ см, это невозможно, так как катет не может быть длиннее гипотенузы ($6 > 5$).
• Если гипотенуза — это $AC = 6$ см, а катет — $AB = 5$ см, то $\angle B = 90^\circ$. Этот случай возможен.

Выберем наиболее вероятный вариант, который часто встречается в учебных задачах и приводит к целочисленному ответу: $\triangle ABC$ является прямоугольным с гипотенузой $AC = 6$ см. Центр описанной окружности для прямоугольного треугольника находится в середине его гипотенузы. Следовательно, радиус $R$ равен половине длины гипотенузы:

$R = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь мы можем вычислить искомое расстояние $OA$:

$OA = \sqrt{OK^2 + R^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Таким образом, расстояние от точки O до вершин треугольника составляет 5 см.

Ответ: 5 см.