Номер 2.52, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.52. Точка K равноудалена от всех вершин $\Delta ABC$ и $OK \perp (ABC)$, $O \in ABC$. Найдите $AK$, если:

1) $AB=BC, AC=4$ см, $BD=4$ см, $BD \perp AC$, $D \in AC, OK=6$ см;
2) $AB=BC=a, \angle ABC=120^\circ, OK=\frac{3a}{4}$;
3) $AB=BC, BD=h, BD \perp AC, \angle ABC=120^\circ, KO=a$;
4) $AB=13$ см, $BC=14$ см, $AC=15$ см, $OK=19,5$ см.

Поскольку точка K равноудалена от всех вершин треугольника $ABC$ ($AK=BK=CK$), а отрезок $OK$ перпендикулярен плоскости треугольника ($OK \perp (ABC)$), точка $O$ является центром описанной окружности треугольника $ABC$. Следовательно, отрезки $OA$, $OB$, $OC$ являются радиусами $R$ этой окружности ($OA = OB = OC = R$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK$ (угол $AOK = 90^\circ$, так как $OK \perp OA$). По теореме Пифагора, $AK^2 = OA^2 + OK^2$, или $AK = \sqrt{R^2 + OK^2}$. Для решения задачи в каждом из случаев необходимо найти радиус $R$ описанной окружности треугольника $ABC$ и затем вычислить $AK$.

1) Дано: $AB = BC$, $AC = 4$ см, $BD = 4$ см, $BD \perp AC$, $D \in AC$, $OK = 6$ см.

Треугольник $ABC$ равнобедренный, так как $AB=BC$. Высота $BD$, проведенная к основанию $AC$, является также медианой. Значит, $D$ — середина $AC$, и $AD = DC = AC/2 = 4/2 = 2$ см. Из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора найдем боковую сторону $AB$: $AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см. Площадь треугольника $ABC$ равна $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ см$^2$. Радиус описанной окружности $R$ найдем по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника. $R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} \cdot 4}{4 \cdot 8} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 4}{32} = \frac{80}{32} = 2.5$ см. Теперь найдем $AK$: $AK = \sqrt{R^2 + OK^2} = \sqrt{(2.5)^2 + 6^2} = \sqrt{6.25 + 36} = \sqrt{42.25} = 6.5$ см.

Ответ: 6,5 см.

2) Дано: $AB = BC = a$, $\angle ABC = 120^\circ$, $OK = \frac{3a}{4}$.

Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ воспользуемся следствием из теоремы синусов: $R = \frac{b}{2\sin B}$. Сначала найдем сторону $AC$ по теореме косинусов для треугольника $ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot (-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$. Отсюда $AC = a\sqrt{3}$. Теперь найдем радиус $R$: $R = \frac{AC}{2\sin(120^\circ)} = \frac{a\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = a$. Найдем $AK$: $AK = \sqrt{R^2 + OK^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{3a}{4})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{9a^2}{16}} = \sqrt{\frac{16a^2+9a^2}{16}} = \sqrt{\frac{25a^2}{16}} = \frac{5a}{4}$.

Ответ: $\frac{5a}{4}$.

3) Дано: $AB = BC$, $BD = h$, $BD \perp AC$, $\angle ABC = 120^\circ$, $KO = a$.

Треугольник $ABC$ — равнобедренный с углом при вершине $120^\circ$. Углы при основании равны $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$. Пусть боковая сторона $AB=BC=x$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ ($BD$ — высота) катет $BD$ лежит против угла в $30^\circ$, поэтому $BD = \frac{1}{2} AB$. То есть, $h = \frac{x}{2}$, откуда $x = 2h$. Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ воспользуемся теоремой синусов: $R = \frac{AB}{2\sin(\angle BCA)} = \frac{x}{2\sin(30^\circ)} = \frac{x}{2 \cdot (1/2)} = x$. Таким образом, $R = x = 2h$. Дано $OK = a$. Теперь найдем $AK$: $AK = \sqrt{R^2 + OK^2} = \sqrt{(2h)^2 + a^2} = \sqrt{4h^2 + a^2}$.

Ответ: $\sqrt{4h^2 + a^2}$.

4) Дано: $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см, $OK = 19,5$ см.

Треугольник $ABC$ — разносторонний. Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ используем формулу $R = \frac{abc}{4S}$. Сначала вычислим площадь $S$ по формуле Герона. Полупериметр $p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см. $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-14)(21-15)(21-13)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2^3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см$^2$. Теперь найдем радиус $R$: $R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{13 \cdot 5}{8} = \frac{65}{8}$ см. Найдем $AK$. Заметим, что $OK = 19.5 = \frac{39}{2}$. $AK = \sqrt{R^2 + OK^2} = \sqrt{(\frac{65}{8})^2 + (\frac{39}{2})^2}$. Вынесем общий множитель из чисел $65=5 \cdot 13$ и $39=3 \cdot 13$: $AK = \sqrt{(\frac{5 \cdot 13}{8})^2 + (\frac{3 \cdot 13}{2})^2} = \sqrt{13^2 \left( (\frac{5}{8})^2 + (\frac{3}{2})^2 \right) } = 13 \sqrt{\frac{25}{64} + \frac{9}{4}} = 13 \sqrt{\frac{25 + 9 \cdot 16}{64}} = 13 \sqrt{\frac{25+144}{64}} = 13 \sqrt{\frac{169}{64}} = 13 \cdot \frac{13}{8} = \frac{169}{8} = 21.125$ см.

Ответ: 21,125 см.