Номер 2.56, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.56. Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 17 см и 10 см. Разность их проекций равна 9 см. Найдите расстояние от этой точки до данной плоскости.

Пусть $h$ — искомое расстояние от точки до плоскости. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Пусть $l_1 = 17$ см и $l_2 = 10$ см — длины двух наклонных, проведенных из этой же точки к плоскости. Пусть $p_1$ и $p_2$ — длины проекций этих наклонных на плоскость соответственно.

Каждая наклонная, ее проекция и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике наклонная является гипотенузой, а перпендикуляр и проекция — катетами.

Согласно теореме Пифагора, $l^2 = h^2 + p^2$. Следовательно, $p^2 = l^2 - h^2$. Так как высота $h$ для обеих наклонных одинакова, то большей наклонной ($l_1 = 17$) соответствует большая проекция ($p_1$), а меньшей наклонной ($l_2 = 10$) — меньшая проекция ($p_2$).
По условию разность их проекций равна 9 см, значит $p_1 - p_2 = 9$.

Запишем систему уравнений, используя теорему Пифагора для двух наклонных:
$\begin{cases}h^2 + p_1^2 = 17^2 \\h^2 + p_2^2 = 10^2 \\p_1 - p_2 = 9\end{cases}$
$\begin{cases}h^2 + p_1^2 = 289 \\h^2 + p_2^2 = 100 \\p_1 - p_2 = 9\end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:
$(h^2 + p_1^2) - (h^2 + p_2^2) = 289 - 100$
$p_1^2 - p_2^2 = 189$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(p_1 - p_2)(p_1 + p_2) = 189$

Подставим известное значение $p_1 - p_2 = 9$:
$9 \cdot (p_1 + p_2) = 189$
$p_1 + p_2 = \frac{189}{9}$
$p_1 + p_2 = 21$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений для $p_1$ и $p_2$:
$\begin{cases}p_1 - p_2 = 9 \\p_1 + p_2 = 21\end{cases}$
Сложим эти два уравнения:
$(p_1 - p_2) + (p_1 + p_2) = 9 + 21$
$2p_1 = 30$
$p_1 = 15$ см

Найдем $p_2$ из уравнения $p_1 - p_2 = 9$:
$15 - p_2 = 9 \implies p_2 = 15 - 9 = 6$ см

Наконец, найдем искомое расстояние $h$, подставив значение $p_2$ в уравнение $h^2 + p_2^2 = 100$:
$h^2 + 6^2 = 100$
$h^2 + 36 = 100$
$h^2 = 100 - 36$
$h^2 = 64$
$h = \sqrt{64} = 8$ см

Ответ: 8 см.