Номер 2.57, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.57. Расстояние от точки $D$ до каждой вершины треугольника $ABC$ равно 5 см и $AC = BC = 6$ см, а $AB = 4$ см. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$.

Пусть $DABC$ – это пирамида, основанием которой является треугольник $ABC$. Пусть точка $O$ является проекцией точки $D$ на плоскость $ABC$. Тогда отрезок $DO$ является высотой пирамиды, и его длина – это искомое расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$.

По условию, точка $D$ равноудалена от всех вершин треугольника $ABC$: $DA = DB = DC = 5$ см. Это означает, что точка $O$ (проекция $D$) является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Отрезки $OA$, $OB$, $OC$ являются радиусами этой окружности. Обозначим радиус описанной окружности как $R$, то есть $OA = OB = OC = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DOA$ (угол $DOA$ прямой, так как $DO$ – перпендикуляр к плоскости $ABC$). По теореме Пифагора: $DA^2 = DO^2 + OA^2$. Отсюда мы можем выразить искомое расстояние $DO$: $DO = \sqrt{DA^2 - OA^2} = \sqrt{5^2 - R^2}$.

Для нахождения $DO$ нам необходимо сначала вычислить радиус $R$ описанной окружности треугольника $ABC$.

Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AC = BC = 6$ см. Основание $AB = 4$ см. Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $S$ – его площадь.

Сначала найдем площадь треугольника $S$. Проведем высоту $CM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, поэтому $AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см. Из прямоугольного треугольника $AMC$ по теореме Пифагора найдем высоту $CM$:
$CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см².

Подставим известные значения в формулу для радиуса описанной окружности:
$R = \frac{AC \cdot BC \cdot AB}{4S} = \frac{6 \cdot 6 \cdot 4}{4 \cdot 8\sqrt{2}} = \frac{144}{32\sqrt{2}} = \frac{9}{2\sqrt{2}}$ см.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$R = \frac{9\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$ см.

Теперь, зная радиус $R = OA = \frac{9\sqrt{2}}{4}$ см, мы можем найти искомое расстояние $DO$ из прямоугольного треугольника $DOA$:
$DO^2 = DA^2 - OA^2 = 5^2 - \left(\frac{9\sqrt{2}}{4}\right)^2 = 25 - \frac{81 \cdot 2}{16} = 25 - \frac{162}{16} = 25 - \frac{81}{8}$.
Приведем к общему знаменателю:
$DO^2 = \frac{25 \cdot 8}{8} - \frac{81}{8} = \frac{200 - 81}{8} = \frac{119}{8}$.
Тогда искомое расстояние $DO$ равно:
$DO = \sqrt{\frac{119}{8}} = \frac{\sqrt{119}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{119}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{119} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{238}}{4}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{238}}{4}$ см.