Работа в группе, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

По рис. 2.29: 1) опишите метод построения общего перпенди- куляра $OB$; 2) по этому образцу на листе бумаги А4 постройте две скрещивающиеся прямые и их общий перпендикуляр.

Рис. 2.29

1) опишите метод построения общего перпендикуляра OB;

На рисунке 2.29 показан метод построения общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым $a$ и $b$. Метод основан на ортогональном проецировании одной из прямых на плоскость, параллельную этой прямой и проходящую через другую прямую.

Алгоритм построения:

1. Построение вспомогательной плоскости. Через одну из прямых, например через прямую $a$, проводится плоскость $α$, параллельная второй прямой $b$. Для этого на прямой $a$ выбирается произвольная точка, и через нее проводится прямая $b'$, параллельная прямой $b$. Плоскость $α$ однозначно задается пересекающимися прямыми $a$ и $b'$.

2. Проецирование. Строится ортогональная проекция прямой $b$ на плоскость $α$. Так как прямая $b$ параллельна плоскости $α$, ее проекцией будет прямая $b''$, параллельная прямой $b$ (и прямой $b'$).

3. Нахождение основания перпендикуляра. Находится точка пересечения прямой $a$ и проекции $b''$. Эта точка обозначается как $O$. Точка $O$ является основанием будущего общего перпендикуляра на прямой $a$.

4. Построение перпендикуляра. Из точки $O$ восстанавливается перпендикуляр к плоскости $α$. Так как прямая $b$ параллельна плоскости $α$, а ее проекция $b''$ проходит через точку $O$, этот перпендикуляр обязательно пересечет прямую $b$. Точка их пересечения обозначается как $B$.

5. Искомый отрезок. Отрезок $OB$ является общим перпендикуляром к скрещивающимся прямым $a$ и $b$.

Обоснование:

По построению, прямая $OB$ перпендикулярна плоскости $α$ ($OB \perp α$).
- Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $α$ ($a \subset α$), то $OB \perp a$.
- Поскольку прямая $b$ параллельна плоскости $α$ ($b \parallel α$), она параллельна своей проекции $b''$ на эту плоскость ($b \parallel b''$). Так как $OB \perp α$, то $OB$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, включая $b''$ ($OB \perp b''$). Из $OB \perp b''$ и $b \parallel b''$ следует, что $OB \perp b$.
Таким образом, отрезок $OB$ перпендикулярен обеим прямым $a$ и $b$, и его концы лежат на этих прямых, что по определению и делает его общим перпендикуляром.

Ответ: Общий перпендикуляр $OB$ строится путем нахождения точки $O$ на прямой $a$ как пересечения $a$ с проекцией прямой $b$ на плоскость $α$ (проходящую через $a$ и параллельную $b$), и последующего восстановления перпендикуляра из точки $O$ к плоскости $α$ до пересечения с прямой $b$ в точке $B$.

2) по этому образцу на листе бумаги А4 постройте две скрещивающиеся прямые и их общий перпендикуляр.

Для выполнения этого задания на листе бумаги А4 необходимо выполнить построение в аксонометрической проекции, то есть создать двумерный рисунок, изображающий трехмерную конструкцию.

Шаги построения:

1. Изображение скрещивающихся прямых. Нарисуйте на листе две прямые, которые изображают скрещивающиеся. Например, прямую $a$ можно нарисовать горизонтально, а прямую $b$ — под углом, уходящей "вглубь и вверх", так, чтобы она не была параллельна $a$ и не пересекалась с ней на плоскости листа.

2. Построение плоскости $α$. Изобразите плоскость $α$, проходящую через прямую $a$ и параллельную прямой $b$. Для этого выберите любую точку $P$ на прямой $a$ и проведите через нее вспомогательную прямую $b'$, параллельную прямой $b$ (на рисунке отрезки, изображающие $b$ и $b'$, должны быть параллельны). Плоскость $α$ теперь определяется прямыми $a$ и $b'$. Изобразите ее в виде параллелограмма, две стороны которого параллельны изображению прямой $a$, а две другие — изображению прямой $b'$.

3. Построение проекции $b''$. Теперь нужно спроецировать прямую $b$ на плоскость $α$. Поскольку $b \parallel α$, ее проекция $b''$ будет параллельна $b$. Чтобы найти ее положение, выберите произвольную точку $B$ на прямой $b$ и опустите из нее "перпендикуляр" на плоскость $α$. На рисунке этот перпендикуляр будет вертикальным отрезком, если вы изображали $α$ горизонтальной. Пусть основание этого перпендикуляра — точка $B_{proj}$. Через точку $B_{proj}$ проведите прямую $b''$ параллельно прямой $b$.

4. Нахождение точки $O$. Найдите на вашем чертеже точку пересечения прямых $a$ и $b''$. Обозначьте эту точку $O$.

5. Построение общего перпендикуляра $OB$. Из точки $O$ проведите "перпендикуляр" к плоскости $α$ (то есть линию, параллельную отрезку $BB_{proj}$) до пересечения с прямой $b$. Точку пересечения обозначьте $B$.

6. Завершение. Выделите полученный отрезок $OB$ (например, цветом или сделав его жирнее). Это и есть изображение общего перпендикуляра. Можно также отметить прямые углы символом "└" между $OB$ и $a$, а также между $OB$ и $b''$ для наглядности.

Ответ: Выполнив последовательно шаги 1-6 на листе бумаги А4, вы получите чертеж, изображающий две скрещивающиеся прямые и их общий перпендикуляр, построенный по методу, описанному в пункте 1.