Номер 2.64, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.64. Величина двугранного угла равна $ \varphi $. Из точки А, лежащей в одной из граней, опущен перпендикуляр $ AB $ на другую грань этого двугранного угла. Найдите расстояние от точки А до ребра двугранного угла, если:

1) $ \varphi = 30^\circ $, $ AB = 5 $ см;

2) $ \varphi = 45^\circ $, $ AB = 3\sqrt{2} $ дм;

3) $ \varphi = 60^\circ $, $ AB = 2\sqrt{3} $ м (рис. 2.37).

Рис. 2.37

2.65. Сколько прямых, пересекаю

Пусть даны две пересекающиеся плоскости, образующие двугранный угол. Обозначим одну грань как плоскость $ \alpha $, а другую — как плоскость $ \beta $. Линия их пересечения, ребро двугранного угла, — это прямая $c$. Величина двугранного угла равна $ \varphi $.

Согласно условию, точка $A$ лежит в одной из граней (пусть это будет грань $ \alpha $). Из точки $A$ опущен перпендикуляр $AB$ на другую грань (плоскость $ \beta $). Это значит, что отрезок $AB$ перпендикулярен плоскости $ \beta $, а точка $B$ (основание перпендикуляра) лежит в плоскости $ \beta $.

Нам необходимо найти расстояние от точки $A$ до ребра $c$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Проведем из точки $A$ перпендикуляр $AC$ к ребру $c$. Точка $C$ будет лежать на ребре $c$. Длина отрезка $AC$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $AC$ является наклонной к плоскости $ \beta $, $AB$ — перпендикуляром, а $BC$ — проекцией наклонной $AC$ на плоскость $ \beta $.

По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($AC$) перпендикулярна некоторой прямой ($c$) в плоскости, то и ее проекция ($BC$) перпендикулярна той же прямой. Так как мы построили $AC \perp c$, то из теоремы следует, что $BC \perp c$.

Линейный угол двугранного угла определяется как угол между двумя перпендикулярами к ребру, проведенными в разных гранях из одной точки на ребре. У нас $AC \perp c$ (в грани $ \alpha $) и $BC \perp c$ (в грани $ \beta $), и они выходят из одной точки $C$. Следовательно, угол $ \angle ACB $ и есть линейный угол двугранного угла, то есть $ \angle ACB = \varphi $.

Поскольку $AB$ — перпендикуляр к плоскости $ \beta $, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $AB \perp BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $ \angle ABC = 90^\circ $.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB$ является противолежащим углу $ \varphi $, а $AC$ — гипотенузой. Их соотношение определяется через синус угла:

$ \sin(\varphi) = \frac{AB}{AC} $

Выразим из этой формулы искомое расстояние $AC$:

$ AC = \frac{AB}{\sin(\varphi)} $

Теперь мы можем решить задачу для каждого из предложенных случаев, подставляя данные значения.

1) Дано: $ \varphi = 30^\circ $, $ AB = 5 $ см.

Найдем расстояние $AC$:

$ AC = \frac{5}{\sin(30^\circ)} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 5 \cdot 2 = 10 $ см.

Ответ: 10 см.

2) Дано: $ \varphi = 45^\circ $, $ AB = 3\sqrt{2} $ дм.

Найдем расстояние $AC$:

$ AC = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 6 $ дм.

Ответ: 6 дм.

3) Дано: $ \varphi = 60^\circ $, $ AB = 2\sqrt{3} $ м.

Найдем расстояние $AC$:

$ AC = \frac{2\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 4 $ м.

Ответ: 4 м.