Номер 2.69, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.69. Через катет $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ проведена плоскость $\alpha$, которая с плоскостью $ABC$ составляет угол, равный $30^\circ$. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, если $AC = 6$ см, $AB = 10$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $C$, мы можем найти длину катета $BC$ по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.

Подставив известные значения, получим: $10^2 = 6^2 + BC^2$ $100 = 36 + BC^2$ $BC^2 = 100 - 36 = 64$ $BC = \sqrt{64} = 8$ см.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Обозначим искомое расстояние как $BH$, где $H$ — основание перпендикуляра, лежащее в плоскости $\alpha$. Таким образом, $BH \perp \alpha$.

Рассмотрим двугранный угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AC$. Угол между плоскостями равен $30^\circ$.

Для нахождения линейного угла этого двугранного угла выполним следующие построения:

1. В плоскости $ABC$ имеем катет $BC$, который перпендикулярен ребру двугранного угла $AC$ ($BC \perp AC$), так как $\angle C = 90^\circ$.

2. Проведем из точки $B$ перпендикуляр $BH$ к плоскости $\alpha$.

3. Соединим точки $C$ и $H$. Отрезок $CH$ является проекцией наклонной $BC$ на плоскость $\alpha$.

По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $BC$ перпендикулярна прямой $AC$ в плоскости $\alpha$, то и ее проекция $CH$ перпендикулярна этой прямой ($CH \perp AC$).

Следовательно, угол $\angle BCH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\alpha$. По условию, $\angle BCH = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BHC$. Так как $BH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $CH$. Значит, $\triangle BHC$ — прямоугольный с прямым углом $H$.

В прямоугольном треугольнике $BHC$ катет $BH$ лежит напротив угла $\angle BCH = 30^\circ$. Гипотенузой является отрезок $BC = 8$ см.

Найдем длину катета $BH$: $BH = BC \cdot \sin(\angle BCH) = 8 \cdot \sin(30^\circ)$

Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то: $BH = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ равно 4 см.

Ответ: 4 см.