Номер 2.74, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.74. Точка A расположена на расстоянии 3 см и 4 см от граней прямого двугранного угла. Найдите расстояние от точки A до ребра двугранного угла.

Для решения задачи введем трехмерную прямоугольную систему координат. Пусть ребром двугранного угла является ось $Oz$, а его гранями — полуплоскости координатных плоскостей $Oxz$ и $Oyz$ для $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Так как двугранный угол прямой, его грани (плоскости $Oxz$ и $Oyz$) перпендикулярны друг другу.

Пусть точка $A$ имеет координаты $(x_A, y_A, z_A)$.

Расстояние от точки $A(x_A, y_A, z_A)$ до одной грани, например, до плоскости $Oxz$ (уравнение которой $y=0$), равно $|y_A|$. По условию, это расстояние составляет 3 см. Следовательно, $|y_A| = 3$.

Расстояние от точки $A(x_A, y_A, z_A)$ до другой грани, плоскости $Oyz$ (уравнение которой $x=0$), равно $|x_A|$. По условию, это расстояние составляет 4 см. Следовательно, $|x_A| = 4$.

Таким образом, мы знаем две координаты точки $A$ (с точностью до знака). Для простоты будем считать, что точка $A$ находится в первом октанте, тогда ее координаты $x_A=4$ и $y_A=3$. Координата $z_A$ может быть любой.

Требуется найти расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла, которое в нашей системе координат является осью $Oz$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Проекцией точки $A(x_A, y_A, z_A)$ на ось $Oz$ является точка $D$ с координатами $(0, 0, z_A)$.

Расстояние $AD$ можно найти по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$d = \sqrt{(x_A - 0)^2 + (y_A - 0)^2 + (z_A - z_A)^2}$

Подставим известные значения координат:

$d = \sqrt{x_A^2 + y_A^2} = \sqrt{(|x_A|)^2 + (|y_A|)^2}$

$d = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Это расстояние не зависит от координаты $z_A$. Геометрически это означает, что искомое расстояние является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются расстояния от точки до граней двугранного угла. Этот прямоугольный треугольник лежит в плоскости, проходящей через точку $A$ и перпендикулярной ребру двугранного угла.

Ответ: Расстояние от точки А до ребра двугранного угла равно 5 см.