Номер 2.78, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.78. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 6 см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы, равные $45^\circ$ и $30^\circ$, а между собой прямой угол. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Пусть точка А находится на расстоянии 6 см от плоскости α. AH — перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость α, следовательно, длина AH = 6 см. AB и AC — две наклонные, проведенные из точки А к плоскости α. Точки B и C — основания наклонных.

HB и HC являются проекциями наклонных AB и AC на плоскость α. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость.Следовательно, по условию задачи:

• $AH = 6$ см
• $\angle ABH = 45^\circ$
• $\angle ACH = 30^\circ$
• Угол между наклонными $\angle BAC = 90^\circ$

Требуется найти расстояние между основаниями наклонных, то есть длину отрезка BC.

Решение

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$, так как AH — перпендикуляр к плоскости α). Из этого треугольника найдем длину наклонной AB.
$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$
$AB = \frac{AH}{\sin(\angle ABH)} = \frac{6}{\sin(45^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$ (угол $\angle AHC = 90^\circ$). Из этого треугольника найдем длину наклонной AC.
$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$
$AC = \frac{AH}{\sin(\angle ACH)} = \frac{6}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$ см.

3. По условию, угол между наклонными AB и AC равен 90°, то есть $\angle BAC = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с гипотенузой BC.
Найдем длину гипотенузы BC по теореме Пифагора: $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
$BC^2 = (6\sqrt{2})^2 + 12^2 = (36 \cdot 2) + 144 = 72 + 144 = 216$.
$BC = \sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$ см.

Ответ: расстояние между основаниями наклонных равно $6\sqrt{6}$ см.