Номер 2.82, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.82. Концы отрезка $AB$ расположены в разных гранях двугранного угла, к ребру которого проведены перпендикуляры $AC$ и $BD$. Докажите, что $\angle ABC = \angle BAD$, если $AC = BD$.

Пусть дан двугранный угол, образованный полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с общим ребром $m$. Точка $A$ принадлежит грани $\alpha$, а точка $B$ — грани $\beta$. Из точек $A$ и $B$ к ребру $m$ проведены перпендикуляры $AC$ и $BD$ соответственно, так что точки $C$ и $D$ лежат на ребре $m$. По условию $AC = BD$. Требуется доказать, что $\angle ABC = \angle BAD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BDC$.

Поскольку $AC$ является перпендикуляром к ребру $m$, то $AC \perp m$. Отрезок $CD$ лежит на ребре $m$, следовательно, $AC \perp CD$. Это означает, что треугольник $\triangle ACD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ACD = 90^\circ$.

Аналогично, поскольку $BD \perp m$, то $BD \perp CD$. Это означает, что треугольник $\triangle BDC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BDC = 90^\circ$.

Применим теорему Пифагора к этим прямоугольным треугольникам:

В $\triangle ACD$: $AD^2 = AC^2 + CD^2$.

В $\triangle BDC$: $BC^2 = BD^2 + CD^2$.

По условию задачи дано, что $AC = BD$. Возведя обе части этого равенства в квадрат, получим $AC^2 = BD^2$. Сравнивая выражения для $AD^2$ и $BC^2$, мы видим, что их правые части равны, так как $AC^2 = BD^2$ и $CD^2$ является общим слагаемым. Следовательно, $AD^2 = BC^2$, а поскольку длины отрезков — положительные величины, то $AD = BC$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BAD$ и $\triangle ABC$. Сравним их элементы:

1. $AB$ — общая сторона.

2. $BD = AC$ — по условию.

3. $AD = BC$ — как было доказано выше.

Таким образом, $\triangle BAD \cong \triangle ABC$ по трём сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. В треугольнике $\triangle BAD$ против стороны $BD$ лежит угол $\angle BAD$. В треугольнике $\triangle ABC$ против равной ей стороны $AC$ лежит угол $\angle ABC$. Следовательно, $\angle BAD = \angle ABC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $\angle ABC = \angle BAD$ при заданных условиях, доказано.