Номер 2.83, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.83. Три луча, исходящие из одной точки, образуют между собой три острых угла, равных $\varphi$, $\psi$ и $\omega$. Докажите, что выполняется равенство $\cos \varphi \cdot \cos \psi = \cos \omega$, если плоскости углов $\varphi$ и $\psi$ перпендикулярны между собой.

Пусть три луча исходят из одной точки $O$. Обозначим их направления единичными векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Согласно условию задачи, угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $\phi$, угол между векторами $\vec{b}$ и $\vec{c}$ равен $\psi$, а угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{c}$ равен $\omega$. Все три угла являются острыми. Также дано, что плоскость, в которой лежат лучи, образующие угол $\phi$ (векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$), перпендикулярна плоскости, в которой лежат лучи, образующие угол $\psi$ (векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$).

Для доказательства равенства $\cos \phi \cdot \cos \psi = \cos \omega$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в точке $O$. Расположим оси координат таким образом, чтобы они соответствовали условиям задачи. Общий луч для двух перпендикулярных плоскостей (соответствующий вектору $\vec{b}$) направим вдоль оси $Ox$. Тогда плоскость, содержащую угол $\phi$, можно совместить с координатной плоскостью $Oxy$, а плоскость, содержащую угол $\psi$, — с координатной плоскостью $Oxz$. Плоскости $Oxy$ и $Oxz$ перпендикулярны и их линией пересечения является ось $Ox$, что полностью соответствует условию.

В этой системе координат единичные векторы, задающие направления лучей, будут иметь следующие координаты. Вектор $\vec{b}$, направленный по оси $Ox$, имеет координаты $\vec{b} = (1, 0, 0)$. Вектор $\vec{a}$, который лежит в плоскости $Oxy$ и образует угол $\phi$ с осью $Ox$, имеет координаты $\vec{a} = (\cos\phi, \sin\phi, 0)$. Вектор $\vec{c}$, который лежит в плоскости $Oxz$ и образует угол $\psi$ с осью $Ox$, имеет координаты $\vec{c} = (\cos\psi, 0, \sin\psi)$.

Косинус угла $\omega$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{c}$ определяется их скалярным произведением, поскольку длины векторов равны единице: $\cos\omega = \vec{a} \cdot \vec{c}$.

Вычислим это скалярное произведение, подставив координаты векторов: $\cos\omega = (\cos\phi, \sin\phi, 0) \cdot (\cos\psi, 0, \sin\psi)$. По определению скалярного произведения в координатах, получаем: $\cos\omega = \cos\phi \cdot \cos\psi + \sin\phi \cdot 0 + 0 \cdot \sin\psi$, что упрощается до $\cos\omega = \cos\phi \cdot \cos\psi$.

Таким образом, мы доказали искомое равенство. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что при заданных условиях выполняется равенство $\cos\phi \cdot \cos\psi = \cos\omega$, доказано.