Номер 2.88, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.88. Через точки $A$ и $B$ плоскости $\alpha$ проведены две параллельные наклонные, которые с плоскостью $\alpha$ образуют угол $\varphi$. Найдите расстояние между этими наклонными, если расстояние между проекциями данных наклонных равно $b$ и $AB = a$.

Обозначим данные параллельные наклонные как $l_1$ и $l_2$, а их проекции на плоскость $\alpha$ как $l'_1$ и $l'_2$ соответственно. Угол, который каждая наклонная образует с плоскостью $\alpha$, равен $\phi$. По определению, это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость.

Из условия задачи, точки A и B лежат в плоскости $\alpha$. Наклонная $l_1$ проведена через точку A, а наклонная $l_2$ — через точку B. Поскольку точка является проекцией самой себя, если она лежит в плоскости проекции, то точка A лежит на проекции $l'_1$, а точка B лежит на проекции $l'_2$.

Рассмотрим геометрическую конфигурацию в плоскости $\alpha$. Мы имеем две параллельные прямые $l'_1$ и $l'_2$, расстояние между которыми равно $b$. На прямой $l'_1$ лежит точка A, а на прямой $l'_2$ — точка B. Расстояние между точками A и B равно $a$.

Опустим перпендикуляр из точки B на прямую $l'_1$ и назовем его основание H. Тогда BH — это расстояние между параллельными прямыми $l'_1$ и $l'_2$, то есть $BH = b$. Точки A и H лежат на одной прямой $l'_1$. В плоскости $\alpha$ образовался прямоугольный треугольник ABH с гипотенузой AB. По теореме Пифагора, $AH^2 + BH^2 = AB^2$, откуда $AH = \sqrt{a^2 - b^2}$.

Пусть $\psi$ — это угол между отрезком AB и прямой $l'_1$ (а также $l'_2$) в плоскости $\alpha$. Из прямоугольного треугольника ABH имеем $\sin\psi = \frac{BH}{AB} = \frac{b}{a}$. Следовательно, $\cos^2\psi = 1 - \sin^2\psi = 1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 - b^2}{a^2}$.

Расстояние $d$ между двумя параллельными прямыми $l_1$ и $l_2$ можно найти, рассмотрев вектор $\vec{AB}$. Точка A лежит на $l_1$, а B — на $l_2$. Расстояние $d$ равно длине компоненты вектора $\vec{AB}$, перпендикулярной направлению прямых $l_1$ и $l_2$. Если $\vec{u}$ — единичный направляющий вектор прямых $l_1$ и $l_2$, а $\theta$ — угол между вектором $\vec{AB}$ и вектором $\vec{u}$, то искомое расстояние равно $d = |\vec{AB}| \sin\theta = a \sin\theta$.

Для нахождения $\sin\theta$ сначала найдем $\cos\theta$. Косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{u}$ определяется их скалярным произведением: $\cos\theta = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{u}|}{|\vec{AB}||\vec{u}|} = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{u}|}{a}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{u}$. Представим вектор $\vec{u}$ как сумму его проекции на плоскость $\alpha$ ($\vec{u'}$) и компоненты, перпендикулярной этой плоскости ($\vec{u_n}$): $\vec{u} = \vec{u'} + \vec{u_n}$. Так как вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости $\alpha$, он ортогонален $\vec{u_n}$, поэтому $\vec{AB} \cdot \vec{u_n} = 0$. Таким образом, $\vec{AB} \cdot \vec{u} = \vec{AB} \cdot \vec{u'}$.

Вектор $\vec{u'}$ является направляющим вектором проекций $l'_1$ и $l'_2$. Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{u'}$ в плоскости $\alpha$ — это угол $\psi$. Следовательно, $\vec{AB} \cdot \vec{u'} = |\vec{AB}| |\vec{u'}| \cos\psi = a |\vec{u'}| \cos\psi$.

Угол между наклонной $l_1$ и ее проекцией $l'_1$ равен $\phi$. Этот угол является углом между их направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{u'}$. Поэтому $|\vec{u'}| = |\vec{u}| \cos\phi = \cos\phi$ (поскольку $|\vec{u}|=1$).

Подставляя это в выражение для скалярного произведения, получаем:$\vec{AB} \cdot \vec{u} = a \cos\phi \cos\psi$.

Теперь найдем $\cos\theta$:$\cos\theta = \frac{|a \cos\phi \cos\psi|}{a} = |\cos\phi \cos\psi|$.Тогда $\cos^2\theta = \cos^2\phi \cos^2\psi = \cos^2\phi \left(\frac{a^2 - b^2}{a^2}\right)$.

Искомое расстояние $d$ вычисляется по формуле $d^2 = a^2 \sin^2\theta = a^2(1 - \cos^2\theta)$.$d^2 = a^2 \left(1 - \cos^2\phi \frac{a^2 - b^2}{a^2}\right) = a^2 - (a^2 - b^2)\cos^2\phi$$d^2 = a^2 - a^2\cos^2\phi + b^2\cos^2\phi = a^2(1 - \cos^2\phi) + b^2\cos^2\phi$$d^2 = a^2\sin^2\phi + b^2\cos^2\phi$.

Таким образом, расстояние между наклонными равно $d = \sqrt{a^2\sin^2\phi + b^2\cos^2\phi}$.

Ответ: $d = \sqrt{a^2\sin^2\phi + b^2\cos^2\phi}$.