Номер 2.84, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.84. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AC_1$ и $BD$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $BD$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно использовать два способа. Прямая $AC_1$ является пространственной диагональю куба, а $BD$ — диагональю его основания.

Способ 1: Векторный метод

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер куба. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно. Координаты вершин, необходимых для решения, будут следующими: $A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $D(0, a, 0)$ и $C_1(a, a, a)$.

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $AC_1$ и $BD$. Для прямой $AC_1$ направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AC_1} = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$. Для прямой $BD$ направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{BD} = (0-a, a-0, 0-0) = (-a, a, 0)$.

Угол $\phi$ между прямыми можно найти через косинус угла между их направляющими векторами по формуле $\cos \phi = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$. Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = a \cdot (-a) + a \cdot a + a \cdot 0 = -a^2 + a^2 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Это означает, что и прямые, которым они принадлежат, также перпендикулярны. Следовательно, искомый угол равен $90^\circ$.

Способ 2: Геометрический метод (с использованием теоремы о трех перпендикулярах)

Рассмотрим плоскость основания куба $ABCD$. Прямая $AC$ является проекцией наклонной $AC_1$ на эту плоскость, так как ребро $C_1C$ перпендикулярно плоскости $ABCD$. В основании куба лежит квадрат $ABCD$, диагонали которого, $AC$ и $BD$, взаимно перпендикулярны. Таким образом, $AC \perp BD$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость (в нашем случае $AC$) перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости (в нашем случае $BD$), то и сама наклонная ($AC_1$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $AC_1 \perp BD$.

Угол между прямыми $AC_1$ и $BD$ составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.