Номер 2.79, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.79. Докажите, что параллельные наклонные образуют с плоскостью равные углы.

Для доказательства утверждения воспользуемся определением угла между прямой и плоскостью.

Дано:
Плоскость $\alpha$.
Две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$), которые пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A$ и $C$ соответственно. Прямые $a$ и $b$ являются наклонными к плоскости $\alpha$.

Доказать:
Углы, которые прямые $a$ и $b$ образуют с плоскостью $\alpha$, равны.

Доказательство:

1. По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Угол этот острый.

2. Построим проекцию прямой $a$ на плоскость $\alpha$. Для этого выберем на прямой $a$ произвольную точку $B$, отличную от точки $A$. Опустим из точки $B$ перпендикуляр $BB'$ на плоскость $\alpha$. Прямая $AB'$ является проекцией прямой $a$ на плоскость $\alpha$. Угол, который прямая $a$ образует с плоскостью $\alpha$, — это угол $\phi_a = \angle BAB'$.

3. Построим проекцию прямой $b$ на плоскость $\alpha$. На прямой $b$ от точки $C$ отложим отрезок $CD$ так, чтобы он был равен по длине и сонаправлен отрезку $AB$. Такое построение возможно, поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны. Таким образом, по построению имеем $AB = CD$. Опустим из точки $D$ перпендикуляр $DD'$ на плоскость $\alpha$. Прямая $CD'$ является проекцией прямой $b$ на плоскость $\alpha$. Угол, который прямая $b$ образует с плоскостью $\alpha$, — это угол $\phi_b = \angle DCD'$.

4. Нам нужно доказать, что $\phi_a = \phi_b$, то есть $\angle BAB' = \angle DCD'$. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABB'$ (с прямым углом $\angle AB'B$) и $\triangle CDD'$ (с прямым углом $\angle CD'D$).

5. Сравним катеты $BB'$ и $DD'$. Отрезок $BB'$ — это расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$. Отрезок $DD'$ — это расстояние от точки $D$ до плоскости $\alpha$. Так как по построению отрезки $AB$ и $CD$ равны и сонаправлены, а прямые $a$ и $b$, на которых они лежат, параллельны, то четырехугольник $ABDC$ является параллелограммом. Из этого следует, что $AC \parallel BD$. Поскольку прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, то прямая $BD$ параллельна плоскости $\alpha$. По определению, все точки прямой, параллельной плоскости, находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости. Следовательно, расстояние от точки $B$ до $\alpha$ равно расстоянию от точки $D$ до $\alpha$. Таким образом, длины перпендикуляров равны: $BB' = DD'$.

6. Теперь сравним треугольники $\triangle ABB'$ и $\triangle CDD'$. Они оба прямоугольные. По построению их гипотенузы равны ($AB = CD$), и мы доказали, что их катеты $BB'$ и $DD'$ также равны. Следовательно, $\triangle ABB' \cong \triangle CDD'$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

7. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Значит, $\angle BAB' = \angle DCD'$, или $\phi_a = \phi_b$.

Таким образом, мы доказали, что параллельные наклонные образуют с плоскостью равные углы. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Параллельные наклонные образуют с плоскостью равные углы. Это следует из того, что можно построить два конгруэнтных прямоугольных треугольника ($\triangle ABB'$ и $\triangle CDD'$ на рисунке), острыми углами которых ($\angle BAB'$ и $\angle DCD'$) являются искомые углы между наклонными и их проекциями на плоскость. Конгруэнтность треугольников доказывается по гипотенузе и катету.