Номер 2.72, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.72. Ребро куба равно 8 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины двух скрещивающихся ребер.

Пусть дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a = 8$ см. Скрещивающиеся ребра — это ребра, которые не лежат в одной плоскости, то есть не пересекаются и не параллельны. В силу симметрии куба, расстояние между серединами любых двух скрещивающихся ребер будет одинаковым. Выберем для удобства два скрещивающихся ребра: ребро $AB$ на нижнем основании и ребро $A_1D_1$ на верхнем основании.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $A_1D_1$. Требуется найти длину отрезка $MN$.

Для нахождения длины отрезка $MN$ воспользуемся методом проекций. Спроецируем точку $M$ на плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Проекцией точки $M$ будет точка $M'$, которая является серединой ребра $A_1B_1$.

Отрезок $MM'$ перпендикулярен плоскости верхнего основания, а значит, и отрезку $M'N$, лежащему в этой плоскости. Таким образом, треугольник $MM'N$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M'$. Длина катета $MM'$ равна расстоянию между плоскостями оснований куба, то есть длине ребра $a$.
$MM' = a = 8$ см.

Длину катета $M'N$ найдем, рассмотрев верхнее основание куба — квадрат $A_1B_1C_1D_1$. В этом квадрате точки $M'$ и $N$ являются серединами смежных сторон $A_1B_1$ и $A_1D_1$ соответственно. Рассмотрим треугольник $A_1M'N$. Он является прямоугольным (угол $\angle M'A_1N$ прямой) и равнобедренным.
Катеты этого треугольника равны:
$A_1M' = \frac{1}{2}A_1B_1 = \frac{a}{2}$
$A_1N = \frac{1}{2}A_1D_1 = \frac{a}{2}$
По теореме Пифагора для треугольника $A_1M'N$:
$M'N^2 = A_1M'^2 + A_1N^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $MM'N$. По теореме Пифагора:
$MN^2 = MM'^2 + M'N^2 = a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{2a^2 + a^2}{2} = \frac{3a^2}{2}$.
Отсюда находим искомую длину отрезка $MN$:
$MN = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Подставим значение длины ребра куба $a = 8$ см:
$MN = \frac{8\sqrt{6}}{2} = 4\sqrt{6}$ см.

Ответ: $4\sqrt{6}$ см.