Номер 2.66, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.66. Наклонная $AB$ образует с плоскостью угол $\varphi$, отрезок $AC$ – проекция этой наклонной к данной плоскости. Найдите:

а) длину проекции, если: 1) $AB = 48$ см, $\varphi = 60^{\circ}$; 2) $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\varphi = 45^{\circ}$;

б) длину наклонной, если: 1) $AC = 4\sqrt{3}$ см, $\varphi = 30^{\circ}$; 2) $AC = 5$ дм, $\varphi = 60^{\circ}$;

в) угол $\varphi$, если: 1) $AB = 24$ см, $AC = 12$ см; 2) $AB = 8$ м, $AC = 4\sqrt{2}$ м.

В данной задаче рассматривается наклонная $AB$ к плоскости, её проекция $AC$ на эту плоскость и угол $\phi$ между ними. Эти три элемента образуют прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, где $\angle C = 90^\circ$.

В этом треугольнике:

• $AB$ — гипотенуза (длина наклонной).

• $AC$ — катет, прилежащий к углу $\phi$ (длина проекции).

• $BC$ — катет, противолежащий углу $\phi$ (перпендикуляр от точки $B$ к плоскости).

• $\phi = \angle BAC$ — угол между наклонной и плоскостью.

Связь между этими величинами определяется через косинус угла $\phi$:

$AC = AB \cdot \cos(\phi)$

Или, что эквивалентно:

$AB = \frac{AC}{\cos(\phi)}$ и $\cos(\phi) = \frac{AC}{AB}$

Ниже представлена иллюстрация данной геометрической конфигурации:

а)

Для нахождения длины проекции $AC$ используется формула $AC = AB \cdot \cos(\phi)$.

1) Дано: $AB = 48$ см, $\phi = 60^\circ$.
Решение: $AC = 48 \cdot \cos(60^\circ) = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$ см.
Ответ: 24 см.

2) Дано: $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\phi = 45^\circ$.
Решение: $AC = 4\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ см.
Ответ: 4 см.

б)

Для нахождения длины наклонной $AB$ используется формула $AB = \frac{AC}{\cos(\phi)}$.

1) Дано: $AC = 4\sqrt{3}$ см, $\phi = 30^\circ$.
Решение: $AB = \frac{4\sqrt{3}}{\cos(30^\circ)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$ см.
Ответ: 8 см.

2) Дано: $AC = 5$ дм, $\phi = 60^\circ$.
Решение: $AB = \frac{5}{\cos(60^\circ)} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 5 \cdot 2 = 10$ дм.
Ответ: 10 дм.

в)

Для нахождения угла $\phi$ используется формула $\cos(\phi) = \frac{AC}{AB}$.

1) Дано: $AB = 24$ см, $AC = 12$ см.
Решение: $\cos(\phi) = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$. Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то $\phi = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

2) Дано: $AB = 8$ м, $AC = 4\sqrt{2}$ м.
Решение: $\cos(\phi) = \frac{AC}{AB} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\phi = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.