Номер 2.65, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.65. Сколько прямых, пересекающих данную плоскость под углом $64^\circ$, можно провести через данную точку?

Чтобы решить эту задачу, необходимо определить, сколько прямых, проходящих через заданную точку $P$, образуют угол $64^\circ$ с данной плоскостью $\alpha$. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Этот угол является острым.

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $P$ относительно плоскости $\alpha$.

Случай 1: Точка $P$ не лежит на плоскости $\alpha$.
Опустим из точки $P$ перпендикуляр $PO$ на плоскость $\alpha$. Точка $O$ является проекцией точки $P$ на плоскость. Любая прямая $l$, проходящая через точку $P$ и пересекающая плоскость в точке $Q$, имеет свою проекцию на плоскость — прямую $OQ$. Угол между прямой $l$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle PQO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle POQ$.
Согласно условию, $\angle PQO = 64^\circ$.
Так как $\triangle POQ$ — прямоугольный (с прямым углом при вершине $O$), угол между прямой $l$ (представленной отрезком $PQ$) и перпендикуляром $PO$ к плоскости равен:$\angle OPQ = 90^\circ - \angle PQO = 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$.
Все искомые прямые должны проходить через точку $P$ и образовывать с фиксированной прямой $PO$ (нормалью) один и тот же угол, равный $26^\circ$. Геометрическое место таких прямых — это коническая поверхность с вершиной в точке $P$, осью $PO$ и углом $26^\circ$ между осью и образующими. Поскольку образующих у конуса бесконечно много, то и число таких прямых бесконечно.

Случай 2: Точка $P$ лежит на плоскости $\alpha$.
В этом случае проведём через точку $P$ прямую $n$, перпендикулярную плоскости $\alpha$. Угол между любой прямой $l$, проходящей через $P$, и плоскостью $\alpha$ является дополнением до $90^\circ$ угла между прямой $l$ и нормалью $n$.
Поскольку угол с плоскостью должен быть $64^\circ$, угол между искомыми прямыми и нормалью $n$ должен составлять $90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$.
Множество всех прямых, проходящих через точку $P$ и образующих с осью $n$ постоянный угол $26^\circ$, также образует коническую поверхность (в данном случае — двойной конус с вершиной в $P$ и осью $n$). Это множество также содержит бесконечное число прямых.

Таким образом, независимо от того, лежит ли данная точка на плоскости или нет, существует бесконечное множество прямых, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: Бесконечно много.