Вопросы?, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какой угол называется углом между прямой и плоскостью?

2. Что такое двугранный угол? Назовите его элементы и покажите на рисунке.

3. Что такое линейный угол двугранного угла?

4. Как определяется угол между плоскостями?

5. Какова разница между понятиями двугранного угла и угла между плоскостями?

6. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей и докажите его.

1. Какой угол называется углом между прямой и плоскостью?
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую, называется угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними считается равным $90^\circ$.
Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным $0^\circ$.
Таким образом, величина угла $\alpha$ между прямой и плоскостью может изменяться в пределах $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$.
Ответ: Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

2. Что такое двугранный угол? Назовите его элементы и покажите на рисунке.
Двугранный угол — это геометрическая фигура в пространстве, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной общей прямой.
Элементами двугранного угла являются:

• Грани — две полуплоскости, образующие угол.
• Ребро — общая прямая, ограничивающая эти полуплоскости.

3. Что такое линейный угол двугранного угла?
Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный пересечением этого двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной его ребру. Иначе говоря, это угол между двумя лучами, которые исходят из одной точки на ребре, лежат в разных гранях и перпендикулярны ребру. Величина двугранного угла определяется величиной его линейного угла. Все линейные углы одного двугранного угла равны между собой.
Ответ: Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, исходящими из одной точки на ребре, лежащими в гранях и перпендикулярными ребру.

4. Как определяется угол между плоскостями?
Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется величина наименьшего из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Эта величина равна величине линейного угла этого двугранного угла. Угол между плоскостями всегда находится в промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$.
Если плоскости параллельны, то угол между ними по определению равен $0^\circ$.
Если плоскости перпендикулярны, то угол между ними равен $90^\circ$.
Ответ: Угол между плоскостями определяется как величина наименьшего из двугранных углов, образованных при их пересечении, и находится в диапазоне $[0^\circ, 90^\circ]$.

5. Какова разница между понятиями двугранного угла и угла между плоскостями?
Основная разница заключается в следующем:
1. Двугранный угол — это конкретная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями с общим ребром. При пересечении двух плоскостей образуется четыре двугранных угла. Величина двугранного угла может быть любой в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$.
2. Угол между плоскостями — это численная характеристика, мера взаимного расположения двух плоскостей. Она по определению равна величине наименьшего (острого или прямого) из четырех двугранных углов, образованных при пересечении. Поэтому величина угла между плоскостями всегда находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$.
Ответ: Двугранный угол — это фигура с величиной до $180^\circ$, а угол между плоскостями — это числовая мера их расположения, не превышающая $90^\circ$.

6. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей и докажите его.
Признак перпендикулярности плоскостей: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Доказательство:
Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, которая перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$). Необходимо доказать, что плоскости перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$).

1. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. Прямая $a$, лежащая в $\alpha$, пересекает плоскость $\beta$ в некоторой точке $A$. Так как точка $A$ принадлежит и прямой $a \subset \alpha$, и плоскости $\beta$, то она принадлежит линии их пересечения $c$.
2. Для определения угла между плоскостями построим линейный угол их двугранного угла. В плоскости $\beta$ через точку $A$ проведем прямую $b$, перпендикулярную ребру $c$ ($b \perp c$).
3. По условию прямая $a \perp \beta$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. Следовательно, $a \perp c$ и $a \perp b$.
4. Мы имеем два луча, выходящих из точки $A$ на ребре $c$: луч прямой $a$ в плоскости $\alpha$ и луч прямой $b$ в плоскости $\beta$. Оба они перпендикулярны ребру $c$. Значит, угол между прямыми $a$ и $b$ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями $\alpha$ и $\beta$.
5. Так как $a \perp b$, то величина этого линейного угла равна $90^\circ$.
6. По определению, угол между плоскостями равен величине их линейного угла, то есть $90^\circ$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны. Что и требовалось доказать.
Ответ: Признак: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Доказательство основано на построении линейного угла, который оказывается прямым.