Страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какой угол называется углом между прямой и плоскостью?

2. Что такое двугранный угол? Назовите его элементы и покажите на рисунке.

3. Что такое линейный угол двугранного угла?

4. Как определяется угол между плоскостями?

5. Какова разница между понятиями двугранного угла и угла между плоскостями?

6. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей и докажите его.

1. Какой угол называется углом между прямой и плоскостью?
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую, называется угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними считается равным $90^\circ$.
Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным $0^\circ$.
Таким образом, величина угла $\alpha$ между прямой и плоскостью может изменяться в пределах $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$.
Ответ: Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

2. Что такое двугранный угол? Назовите его элементы и покажите на рисунке.
Двугранный угол — это геометрическая фигура в пространстве, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной общей прямой.
Элементами двугранного угла являются:

• Грани — две полуплоскости, образующие угол.
• Ребро — общая прямая, ограничивающая эти полуплоскости.

3. Что такое линейный угол двугранного угла?
Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный пересечением этого двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной его ребру. Иначе говоря, это угол между двумя лучами, которые исходят из одной точки на ребре, лежат в разных гранях и перпендикулярны ребру. Величина двугранного угла определяется величиной его линейного угла. Все линейные углы одного двугранного угла равны между собой.
Ответ: Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, исходящими из одной точки на ребре, лежащими в гранях и перпендикулярными ребру.

4. Как определяется угол между плоскостями?
Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется величина наименьшего из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Эта величина равна величине линейного угла этого двугранного угла. Угол между плоскостями всегда находится в промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$.
Если плоскости параллельны, то угол между ними по определению равен $0^\circ$.
Если плоскости перпендикулярны, то угол между ними равен $90^\circ$.
Ответ: Угол между плоскостями определяется как величина наименьшего из двугранных углов, образованных при их пересечении, и находится в диапазоне $[0^\circ, 90^\circ]$.

5. Какова разница между понятиями двугранного угла и угла между плоскостями?
Основная разница заключается в следующем:
1. Двугранный угол — это конкретная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями с общим ребром. При пересечении двух плоскостей образуется четыре двугранных угла. Величина двугранного угла может быть любой в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$.
2. Угол между плоскостями — это численная характеристика, мера взаимного расположения двух плоскостей. Она по определению равна величине наименьшего (острого или прямого) из четырех двугранных углов, образованных при пересечении. Поэтому величина угла между плоскостями всегда находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$.
Ответ: Двугранный угол — это фигура с величиной до $180^\circ$, а угол между плоскостями — это числовая мера их расположения, не превышающая $90^\circ$.

6. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей и докажите его.
Признак перпендикулярности плоскостей: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Доказательство:
Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, которая перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$). Необходимо доказать, что плоскости перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$).

1. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. Прямая $a$, лежащая в $\alpha$, пересекает плоскость $\beta$ в некоторой точке $A$. Так как точка $A$ принадлежит и прямой $a \subset \alpha$, и плоскости $\beta$, то она принадлежит линии их пересечения $c$.
2. Для определения угла между плоскостями построим линейный угол их двугранного угла. В плоскости $\beta$ через точку $A$ проведем прямую $b$, перпендикулярную ребру $c$ ($b \perp c$).
3. По условию прямая $a \perp \beta$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. Следовательно, $a \perp c$ и $a \perp b$.
4. Мы имеем два луча, выходящих из точки $A$ на ребре $c$: луч прямой $a$ в плоскости $\alpha$ и луч прямой $b$ в плоскости $\beta$. Оба они перпендикулярны ребру $c$. Значит, угол между прямыми $a$ и $b$ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями $\alpha$ и $\beta$.
5. Так как $a \perp b$, то величина этого линейного угла равна $90^\circ$.
6. По определению, угол между плоскостями равен величине их линейного угла, то есть $90^\circ$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны. Что и требовалось доказать.
Ответ: Признак: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Доказательство основано на построении линейного угла, который оказывается прямым.

Практическая работа

1. Из листа бумаги сделайте модель двугранного угла и покажите его линейный угол. Сделайте так, чтобы линейный угол был равен: 1) $30^\circ$; 2) $45^\circ$; 3) $60^\circ$; 4) $90^\circ$; 5) $150^\circ$.

2. Из двух листов плотной бумаги изготовьте модель взаимно перпендикулярных плоскостей.

1. Для создания модели двугранного угла из листа бумаги необходимо выполнить следующие шаги:

1. Возьмите прямоугольный лист бумаги и согните его. Линия сгиба, обозначим ее a, представляет собой ребро двугранного угла. Части листа по обе стороны от сгиба являются гранями двугранного угла. Обозначим их как плоскости $\alpha$ и $\beta$.

2. Чтобы построить и показать линейный угол, выберите на ребре a произвольную точку O.

3. В каждой грани из точки O проведите луч, перпендикулярный ребру a. Пусть луч OB лежит в грани $\alpha$, а луч OC — в грани $\beta$. Таким образом, $OB \perp a$ и $OC \perp a$.

4. Угол $\angle BOC$, образованный этими двумя лучами, является линейным углом двугранного угла. Величина этого угла меняется в зависимости от того, как согнут лист бумаги.

Для создания моделей с линейными углами заданной величины (1) 30°; 2) 45°; 3) 60°; 4) 90°; 5) 150°) воспользуйтесь транспортиром:

1. Приложите транспортир к модели так, чтобы его центр совпал с точкой O, а основание (нулевая отметка) — с лучом OB.

2. Сгибая или разгибая лист бумаги, добейтесь, чтобы луч OC указывал на необходимое деление на шкале транспортира: 30°, 45°, 60°, 90° или 150°.

Таким образом, последовательно изменяя угол сгиба, можно получить модели для всех указанных значений линейного угла.

Ответ: Модели двугранных углов с заданными линейными углами созданы с помощью сгибания листа бумаги и измерения угла транспортиром.

2. Для изготовления модели взаимно перпендикулярных плоскостей из двух листов плотной бумаги потребуются два листа плотной бумаги (или картона) и ножницы. Порядок действий следующий:

1. Возьмите первый лист бумаги. Проведите на нем осевую линию, параллельную одной из его сторон (например, длинной). Сделайте по этой линии разрез от одного края ровно до центра листа.

2. Аналогичную операцию проделайте со вторым листом бумаги.

3. Вставьте один лист в другой, совмещая разрезы. Листы должны зафиксироваться, образуя устойчивую конструкцию.

Полученная модель демонстрирует две взаимно перпендикулярные плоскости. Плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°, что и достигается данным способом сборки. Линия пересечения плоскостей — это линия, по которой совмещены разрезы на листах.

Ответ: Модель взаимно перпендикулярных плоскостей изготовлена путем соединения двух листов плотной бумаги с разрезами до середины.

2.61. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1) Покажите все пары взаимно перпендикулярных граней.

2) Найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $ACC_1A_1$.

3) Найдите угол между плоскостями $ACC_1A_1$ и $ABB_1A_1$.

4) Покажите, что плоскости $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$ взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, изображенный на рисунке. Основания куба — квадраты $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ перпендикулярны основаниям.

1) Покажите все пары взаимно перпендикулярных граней. В кубе любая грань перпендикулярна четырем смежным с ней граням. Грани куба: нижняя ($ABCD$), верхняя ($A_1B_1C_1D_1$), передняя ($ABB_1A_1$), задняя ($DCC_1D_1$), левая ($ADD_1A_1$) и правая ($BCC_1B_1$). Пары взаимно перпендикулярных граней:
1. Грань $ABCD$ перпендикулярна граням $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$ и $ADD_1A_1$.
2. Грань $A_1B_1C_1D_1$ перпендикулярна граням $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$ и $ADD_1A_1$.
3. Грань $ABB_1A_1$ перпендикулярна граням $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ (а также верхнему и нижнему основаниям).
4. Грань $DCC_1D_1$ перпендикулярна граням $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ (а также верхнему и нижнему основаниям).
Всего существует 12 уникальных пар взаимно перпендикулярных граней.
Ответ: Пары взаимно перпендикулярных граней — это любая грань и четыре смежные с ней грани. Например, грань $ABCD$ перпендикулярна граням $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $DCC_1D_1$, $ADD_1A_1$. Аналогично для остальных граней.

2) Найдите угол между прямой AB и плоскостью ACC₁A₁. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Прямая $AB$ пересекает плоскость $ACC_1A_1$ в точке $A$. Найдем проекцию точки $B$ на плоскость $ACC_1A_1$.
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ в основании $ABCD$. Так как $ABCD$ — квадрат, его диагонали перпендикулярны, то есть $BD \perp AC$.
Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, значит, $AA_1 \perp BD$.
Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $ACC_1A_1$, то $BD$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1A_1$. Следовательно, отрезок $BO$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на плоскость $ACC_1A_1$, а точка $O$ — проекция точки $B$ на эту плоскость.
Тогда проекцией прямой $AB$ на плоскость $ACC_1A_1$ является прямая $AO$. Искомый угол — это угол $\angle BAO$.
В квадрате $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle DAB$. Так как $\angle DAB = 90^\circ$, то $\angle BAO = \angle BAC = \frac{1}{2} \angle DAB = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

3) Найдите угол между плоскостями ACC₁A₁ и ABB₁A₁. Угол между двумя плоскостями — это двугранный угол, который измеряется линейным углом. Линейный угол образуется двумя перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, проведенными в этих плоскостях из одной точки.
Линией пересечения плоскостей $ACC_1A_1$ и $ABB_1A_1$ является прямая $AA_1$.
В плоскости $ABB_1A_1$ (грань куба) прямая $AB$ перпендикулярна ребру $AA_1$ ($AB \perp AA_1$), так как это смежные стороны квадрата.
Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $AA_1 \perp AC$. Прямая $AC$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$.
Таким образом, мы имеем два перпендикуляра ($AB$ и $AC$) к линии пересечения $AA_1$, проведенные из одной точки $A$. Угол между плоскостями равен углу между этими прямыми, то есть $\angle BAC$.
Как было показано в предыдущем пункте, $\angle BAC = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

4) Покажите, что плоскости ACC₁A₁ и BDD₁B₁ взаимно перпендикулярны. Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости.
Рассмотрим прямую $BD$, которая лежит в плоскости $BDD_1B_1$. Докажем, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ACC_1A_1$.
1. В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны: $BD \perp AC$.
2. Боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Следовательно, $CC_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и диагонали $BD$: $CC_1 \perp BD$.
Прямые $AC$ и $CC_1$ лежат в плоскости $ACC_1A_1$ и пересекаются в точке $C$.
Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $CC_1$) в плоскости $ACC_1A_1$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ACC_1A_1$.
Так как плоскость $BDD_1B_1$ проходит через прямую $BD$, которая перпендикулярна плоскости $ACC_1A_1$, то по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $BDD_1B_1$ перпендикулярна плоскости $ACC_1A_1$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Плоскости $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$ взаимно перпендикулярны.