Страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.46. Определите указанное расстояние из предыдущей задачи, если $OK = 4$ см, $AB = 5$ см, $AC = 6$ см.

Для решения данной задачи необходимо использовать контекст предыдущей задачи. Как правило, в задачах такого типа рассматривается ситуация, в которой точка O, не лежащая в плоскости треугольника, равноудалена либо от его вершин, либо от его сторон. В условии задачи 2.46 требуется найти "указанное расстояние", что, скорее всего, подразумевает одно из этих равных расстояний.

Наиболее вероятный сценарий, вытекающий из стандартного курса геометрии (например, задачи 2.45 в учебнике Атанасяна), заключается в том, что точка O равноудалена от вершин треугольника ABC. То есть, $OA = OB = OC$. В этом случае ее проекция на плоскость треугольника, точка K, является центром описанной около треугольника окружности. Искомое расстояние — это длина отрезков $OA$, $OB$ и $OC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKA$. В нем катет $OK$ — это расстояние от точки O до плоскости треугольника, а катет $KA$ — это радиус $R$ описанной около $\triangle ABC$ окружности. Искомое расстояние $OA$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$OA^2 = OK^2 + KA^2$, или $OA = \sqrt{OK^2 + R^2}$.

По условию $OK = 4$ см. Для нахождения $OA$ нам нужно определить радиус $R$ описанной окружности. В задаче даны длины только двух сторон треугольника: $AB = 5$ см и $AC = 6$ см. В общем случае для нахождения радиуса описанной окружности требуется знать все три стороны. Тот факт, что третья сторона не задана, с большой вероятностью означает, что треугольник является прямоугольным.

Проверим возможные варианты для прямоугольного треугольника:

• Если катеты — это $AB$ и $AC$, то $\angle A = 90^\circ$. Гипотенуза была бы $\sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25+36} = \sqrt{61}$ см.
• Если гипотенуза — это $AB = 5$ см, а катет — $AC = 6$ см, это невозможно, так как катет не может быть длиннее гипотенузы ($6 > 5$).
• Если гипотенуза — это $AC = 6$ см, а катет — $AB = 5$ см, то $\angle B = 90^\circ$. Этот случай возможен.

Выберем наиболее вероятный вариант, который часто встречается в учебных задачах и приводит к целочисленному ответу: $\triangle ABC$ является прямоугольным с гипотенузой $AC = 6$ см. Центр описанной окружности для прямоугольного треугольника находится в середине его гипотенузы. Следовательно, радиус $R$ равен половине длины гипотенузы:

$R = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь мы можем вычислить искомое расстояние $OA$:

$OA = \sqrt{OK^2 + R^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Таким образом, расстояние от точки O до вершин треугольника составляет 5 см.

Ответ: 5 см.

2.47. Отрезок $AK$ перпендикулярен плоскости квадрата $ABCD$. Найдите расстояние от точки $K$ до прямой $BD$, если $AB = 3 \text{ м}$, $BK = 5 \text{ м}$.

Для решения задачи построим пространственный чертеж, отражающий ее условие.

По условию, отрезок $AK$ перпендикулярен плоскости квадрата $(ABCD)$. Это означает, что $AK$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $AK \perp AB$.

Рассмотрим $\triangle AKB$. Так как $AK \perp AB$, этот треугольник является прямоугольным с прямым углом $\angle KAB$. По теореме Пифагора:

$BK^2 = AK^2 + AB^2$

Из условия нам известны длины гипотенузы $BK = 5$ м и катета $AB = 3$ м. Найдем длину второго катета $AK$:

$5^2 = AK^2 + 3^2$

$25 = AK^2 + 9$

$AK^2 = 25 - 9 = 16$

$AK = \sqrt{16} = 4$ м.

Искомое расстояние от точки $K$ до прямой $BD$ — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $K$ к прямой $BD$. Проведем этот перпендикуляр $KO$, где $O$ — точка на прямой $BD$, так что $KO \perp BD$.

Рассмотрим отрезок $AK$ как перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, а отрезок $KO$ — как наклонную к этой плоскости. Тогда отрезок $AO$ является проекцией наклонной $KO$ на плоскость $(ABCD)$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($KO$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BD$), то и ее проекция ($AO$) также перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $AO \perp BD$.

В квадрате $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны. Это означает, что перпендикуляр из вершины $A$ к диагонали $BD$ — это отрезок $AO$, где $O$ является точкой пересечения диагоналей. Таким образом, точка $O$ — это центр квадрата.

Найдем длину отрезка $AO$. В квадрате диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO$ — это половина диагонали $AC$. Найдем длину диагонали $AC$ из прямоугольного треугольника $ABC$ (в квадрате $\angle B = 90^\circ$):

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Так как $ABCD$ — квадрат со стороной 3 м, то $AB = BC = 3$ м.

$AC^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$

$AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ м.

Длина отрезка $AO$ равна:

$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ м.

Теперь рассмотрим $\triangle AKO$. Так как $AK \perp (ABCD)$, то $AK$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через $A$, в том числе и $AO$. Следовательно, $\triangle AKO$ — прямоугольный с прямым углом $\angle KAO$.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $KO$, которая и является искомым расстоянием:

$KO^2 = AK^2 + AO^2$

Подставим найденные значения $AK = 4$ м и $AO = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ м:

$KO^2 = 4^2 + \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 16 + \frac{9 \cdot 2}{4} = 16 + \frac{18}{4} = 16 + \frac{9}{2}$

$KO^2 = \frac{32}{2} + \frac{9}{2} = \frac{41}{2}$

$KO = \sqrt{\frac{41}{2}} = \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{41} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{82}}{2}$ м.

Ответ: $\frac{\sqrt{82}}{2}$ м.

2.48. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведена наклонная $AB$, равная 6 см. Найдите длину проекции $AB$ на плоскость $\alpha$, если угол между прямой $AB$ и ее проекцией равен:

1) $30^\circ$;

2) $45^\circ$;

3) $60^\circ$.

Пусть из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведена наклонная $AB$, длина которой равна $AB = 6$ см. Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$. Отрезок $HB$ является ортогональной проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$. Наклонная $AB$, ее проекция $HB$ и перпендикуляр $AH$ образуют прямоугольный треугольник $\triangle AHB$, в котором $\angle AHB = 90^\circ$.

Угол между наклонной и ее проекцией — это угол $\gamma = \angle ABH$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AHB$ проекция $HB$ является катетом, прилежащим к углу $\gamma$, а наклонная $AB$ — гипотенузой. Длину проекции можно найти, используя определение косинуса острого угла: $\cos(\gamma) = \frac{HB}{AB}$.
Отсюда, длина проекции $HB$ равна: $HB = AB \cdot \cos(\gamma)$.

Подставим известные значения в эту формулу для каждого из трех случаев.

1) Угол между прямой $AB$ и ее проекцией равен $30^\circ$, значит $\gamma = 30^\circ$.
Длина проекции: $HB = 6 \cdot \cos(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
Ответ: $3\sqrt{3}$ см.

2) Угол между прямой $AB$ и ее проекцией равен $45^\circ$, значит $\gamma = 45^\circ$.
Длина проекции: $HB = 6 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.
Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

3) Угол между прямой $AB$ и ее проекцией равен $60^\circ$, значит $\gamma = 60^\circ$.
Длина проекции: $HB = 6 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.
Ответ: 3 см.

2.49. Из концов отрезка длиной 62,5 см к плоскости проведены перпендикуляры, длины которых равны 50 см и 28 см. Найдите расстояние между основаниями этих перпендикуляров.

Пусть дан отрезок $AB$ и плоскость $\alpha$. Из концов отрезка, точек $A$ и $B$, опущены перпендикуляры $AA'$ и $BB'$ на плоскость $\alpha$. Точки $A'$ и $B'$ являются основаниями этих перпендикуляров.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

• Длина отрезка $AB = 62,5$ см.
• Длина перпендикуляра $AA' = 50$ см.
• Длина перпендикуляра $BB' = 28$ см.

Необходимо найти расстояние между основаниями перпендикуляров, то есть длину отрезка $A'B'$.

Поскольку отрезки $AA'$ и $BB'$ оба перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$, они параллельны друг другу. Это означает, что точки $A$, $B$, $B'$, $A'$ лежат в одной плоскости и образуют фигуру — прямоугольную трапецию $ABB'A'$. В этой трапеции $AA'$ и $BB'$ являются параллельными основаниями, а отрезок $A'B'$ является одним из боковых ребер и перпендикулярен основаниям.

Для нахождения длины $A'B'$ воспользуемся дополнительным построением. Проведем из точки $B$ отрезок $BC$, параллельный $A'B'$, до пересечения с прямой $AA'$.

В результате построения мы получили прямоугольник $A'B'BC$ и прямоугольный треугольник $ABC$.

Из свойств прямоугольника $A'B'BC$ следует, что его противоположные стороны равны:

$BC = A'B'$ (это искомая длина)

$CA' = BB' = 28$ см

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ — прямой.

• Гипотенуза $AB$ по условию равна $62,5$ см.
• Катет $BC$ равен искомому расстоянию $A'B'$.
• Катет $AC$ можно найти как разность длин $AA'$ и $CA'$: $AC = AA' - CA' = AA' - BB' = 50 \text{ см} - 28 \text{ см} = 22 \text{ см}$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $ABC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.

Выразим из этой формулы квадрат искомого катета $BC$:

$BC^2 = AB^2 - AC^2$

Подставим числовые значения:

$BC^2 = 62,5^2 - 22^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для упрощения вычислений:

$BC^2 = (62,5 - 22)(62,5 + 22) = 40,5 \cdot 84,5$

$BC^2 = 3422,25$

Теперь найдем длину $BC$, извлекая квадратный корень:

$BC = \sqrt{3422,25} = 58,5$ см.

Поскольку $A'B' = BC$, расстояние между основаниями перпендикуляров составляет $58,5$ см.

Ответ: 58,5 см.

2.50. Отрезок $MN$, равный $12$ см, пересекает плоскость в точке $O$. Концы этого отрезка удалены от плоскости на расстояния $1$ см и $3$ см. Найдите $MO$ и $NO$ (рис. $2.25$).

Рис. $2.25$

Пусть дана плоскость $\alpha$. Отрезок $MN$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $O$. Длина отрезка $MN$ равна 12 см.

Опустим из концов отрезка $M$ и $N$ перпендикуляры на плоскость $\alpha$. Пусть $P$ и $Q$ — основания этих перпендикуляров. Тогда $MP \perp \alpha$ и $NQ \perp \alpha$.

Длины этих перпендикуляров равны расстояниям от точек $M$ и $N$ до плоскости $\alpha$. По условию, эти расстояния равны 1 см и 3 см. Таким образом, $MP = 1$ см и $NQ = 3$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle MPO$ и $\triangle NQO$.

Поскольку $MP$ и $NQ$ являются перпендикулярами к плоскости $\alpha$, они перпендикулярны любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через их основания. Прямая $PQ$ лежит в плоскости $\alpha$, значит $MP \perp PQ$ и $NQ \perp PQ$. Следовательно, $\triangle MPO$ и $\triangle NQO$ — прямоугольные треугольники ($\angle MPO = 90^\circ$ и $\angle NQO = 90^\circ$).

Углы $\angle MOP$ и $\angle NOQ$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle MOP = \angle NOQ$.

Так как два угла одного треугольника ($\angle MPO$ и $\angle MOP$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\angle NQO$ и $\angle NOQ$), то треугольники $\triangle MPO$ и $\triangle NQO$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны:

$\frac{MO}{NO} = \frac{MP}{NQ}$

Подставим известные значения длин перпендикуляров $MP = 1$ см и $NQ = 3$ см:

$\frac{MO}{NO} = \frac{1}{3}$

Из этой пропорции выразим $NO$ через $MO$:

$NO = 3 \cdot MO$

Точка $O$ принадлежит отрезку $MN$, следовательно, длина всего отрезка равна сумме длин его частей: $MN = MO + NO$. По условию $MN = 12$ см.

$MO + NO = 12$

Подставим выражение для $NO$ в это уравнение:

$MO + 3 \cdot MO = 12$

$4 \cdot MO = 12$

$MO = \frac{12}{4} = 3$ см.

Теперь найдем длину $NO$:

$NO = 3 \cdot MO = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Ответ: $MO = 3$ см, $NO = 9$ см.

2.51. Отрезок $AB = a$ параллелен плоскости $\alpha$ и $BB_1 \perp \alpha$, $B_1 \in \alpha$. Найдите $d(AB; \alpha)$, если $\angle BAB_1 = 60^\circ$.

Поскольку отрезок $AB$ параллелен плоскости $α$, расстояние от любой точки отрезка $AB$ до плоскости $α$ одинаково. Это расстояние $d(AB; α)$ равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки отрезка $AB$ на плоскость $α$.

По условию, $BB_1$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на плоскость $α$, так как $BB_1 \perp α$ и $B_1 \in α$. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $BB_1$.

Рассмотрим взаимное расположение прямых $AB$ и $BB_1$. Согласно свойству, если прямая ($BB_1$) перпендикулярна плоскости ($α$), то она перпендикулярна любой прямой ($AB$), параллельной этой плоскости. Таким образом, $AB \perp BB_1$, и треугольник $ABB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$, то есть $\angle ABB_1 = 90°$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$. В нем известны:

• Катет $AB = a$ (прилежащий к углу $BAB_1$)
• Угол $\angle BAB_1 = 60°$

Нам нужно найти длину катета $BB_1$ (противолежащего углу $BAB_1$).

Воспользуемся определением тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

$ \tan(\angle BAB_1) = \frac{BB_1}{AB} $

Подставим известные значения:

$ \tan(60°) = \frac{BB_1}{a} $

Отсюда выразим $BB_1$:

$ BB_1 = a \cdot \tan(60°) $

Так как $ \tan(60°) = \sqrt{3} $, получаем:

$ BB_1 = a\sqrt{3} $

Следовательно, расстояние от отрезка $AB$ до плоскости $α$ равно $a\sqrt{3}$.

Ответ: $d(AB; α) = a\sqrt{3}$.

2.52. Точка K равноудалена от всех вершин $\Delta ABC$ и $OK \perp (ABC)$, $O \in ABC$. Найдите $AK$, если:

1) $AB=BC, AC=4$ см, $BD=4$ см, $BD \perp AC$, $D \in AC, OK=6$ см;
2) $AB=BC=a, \angle ABC=120^\circ, OK=\frac{3a}{4}$;
3) $AB=BC, BD=h, BD \perp AC, \angle ABC=120^\circ, KO=a$;
4) $AB=13$ см, $BC=14$ см, $AC=15$ см, $OK=19,5$ см.

Поскольку точка K равноудалена от всех вершин треугольника $ABC$ ($AK=BK=CK$), а отрезок $OK$ перпендикулярен плоскости треугольника ($OK \perp (ABC)$), точка $O$ является центром описанной окружности треугольника $ABC$. Следовательно, отрезки $OA$, $OB$, $OC$ являются радиусами $R$ этой окружности ($OA = OB = OC = R$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK$ (угол $AOK = 90^\circ$, так как $OK \perp OA$). По теореме Пифагора, $AK^2 = OA^2 + OK^2$, или $AK = \sqrt{R^2 + OK^2}$. Для решения задачи в каждом из случаев необходимо найти радиус $R$ описанной окружности треугольника $ABC$ и затем вычислить $AK$.

1) Дано: $AB = BC$, $AC = 4$ см, $BD = 4$ см, $BD \perp AC$, $D \in AC$, $OK = 6$ см.

Треугольник $ABC$ равнобедренный, так как $AB=BC$. Высота $BD$, проведенная к основанию $AC$, является также медианой. Значит, $D$ — середина $AC$, и $AD = DC = AC/2 = 4/2 = 2$ см. Из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора найдем боковую сторону $AB$: $AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см. Площадь треугольника $ABC$ равна $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ см$^2$. Радиус описанной окружности $R$ найдем по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника. $R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} \cdot 4}{4 \cdot 8} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 4}{32} = \frac{80}{32} = 2.5$ см. Теперь найдем $AK$: $AK = \sqrt{R^2 + OK^2} = \sqrt{(2.5)^2 + 6^2} = \sqrt{6.25 + 36} = \sqrt{42.25} = 6.5$ см.

Ответ: 6,5 см.

2) Дано: $AB = BC = a$, $\angle ABC = 120^\circ$, $OK = \frac{3a}{4}$.

Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ воспользуемся следствием из теоремы синусов: $R = \frac{b}{2\sin B}$. Сначала найдем сторону $AC$ по теореме косинусов для треугольника $ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot (-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$. Отсюда $AC = a\sqrt{3}$. Теперь найдем радиус $R$: $R = \frac{AC}{2\sin(120^\circ)} = \frac{a\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = a$. Найдем $AK$: $AK = \sqrt{R^2 + OK^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{3a}{4})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{9a^2}{16}} = \sqrt{\frac{16a^2+9a^2}{16}} = \sqrt{\frac{25a^2}{16}} = \frac{5a}{4}$.

Ответ: $\frac{5a}{4}$.

3) Дано: $AB = BC$, $BD = h$, $BD \perp AC$, $\angle ABC = 120^\circ$, $KO = a$.

Треугольник $ABC$ — равнобедренный с углом при вершине $120^\circ$. Углы при основании равны $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$. Пусть боковая сторона $AB=BC=x$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ ($BD$ — высота) катет $BD$ лежит против угла в $30^\circ$, поэтому $BD = \frac{1}{2} AB$. То есть, $h = \frac{x}{2}$, откуда $x = 2h$. Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ воспользуемся теоремой синусов: $R = \frac{AB}{2\sin(\angle BCA)} = \frac{x}{2\sin(30^\circ)} = \frac{x}{2 \cdot (1/2)} = x$. Таким образом, $R = x = 2h$. Дано $OK = a$. Теперь найдем $AK$: $AK = \sqrt{R^2 + OK^2} = \sqrt{(2h)^2 + a^2} = \sqrt{4h^2 + a^2}$.

Ответ: $\sqrt{4h^2 + a^2}$.

4) Дано: $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см, $OK = 19,5$ см.

Треугольник $ABC$ — разносторонний. Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ используем формулу $R = \frac{abc}{4S}$. Сначала вычислим площадь $S$ по формуле Герона. Полупериметр $p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см. $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-14)(21-15)(21-13)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2^3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см$^2$. Теперь найдем радиус $R$: $R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{13 \cdot 5}{8} = \frac{65}{8}$ см. Найдем $AK$. Заметим, что $OK = 19.5 = \frac{39}{2}$. $AK = \sqrt{R^2 + OK^2} = \sqrt{(\frac{65}{8})^2 + (\frac{39}{2})^2}$. Вынесем общий множитель из чисел $65=5 \cdot 13$ и $39=3 \cdot 13$: $AK = \sqrt{(\frac{5 \cdot 13}{8})^2 + (\frac{3 \cdot 13}{2})^2} = \sqrt{13^2 \left( (\frac{5}{8})^2 + (\frac{3}{2})^2 \right) } = 13 \sqrt{\frac{25}{64} + \frac{9}{4}} = 13 \sqrt{\frac{25 + 9 \cdot 16}{64}} = 13 \sqrt{\frac{25+144}{64}} = 13 \sqrt{\frac{169}{64}} = 13 \cdot \frac{13}{8} = \frac{169}{8} = 21.125$ см.

Ответ: 21,125 см.

2.53. Провод прикрепили к столбу на высоте 5 м, к стене дома – на высоте 3 м. Расстояние между столбом и домом равно 11 м. Какова длина провода?

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрический подход. Представим себе столб, стену дома и землю. Они образуют прямоугольную трапецию, где столб и стена — это параллельные вертикальные стороны, а земля — это нижнее основание, перпендикулярное им. Провод является наклонной боковой стороной этой трапеции.

Чтобы найти длину провода, мы можем построить прямоугольный треугольник. Длина провода будет гипотенузой этого треугольника.

Катеты этого прямоугольного треугольника будут:

1. Горизонтальный катет ($a$) — это расстояние между столбом и домом, которое равно 11 м.

2. Вертикальный катет ($b$) — это разница высот, на которых прикреплен провод. Высота на столбе — 5 м, а на стене дома — 3 м. Следовательно, разница высот равна $5 - 3 = 2$ м.

Теперь мы можем найти длину провода ($L$), которая является гипотенузой, используя теорему Пифагора: $L^2 = a^2 + b^2$.

Подставим известные значения в формулу:

$L = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{11^2 + 2^2}$

$L = \sqrt{121 + 4} = \sqrt{125}$

Чтобы упростить корень, разложим 125 на множители:

$L = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

Таким образом, длина провода составляет $5\sqrt{5}$ метров.

Ответ: $5\sqrt{5}$ м.

2.54. Два отрезка, длины которых составляют 13 см и 37 см, упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция меньшего из них на плоскость равна 5 см. Найдите длину проекции большего отрезка.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Расстояние между этими плоскостями обозначим как $h$. Отрезок, концы которого лежат на этих плоскостях, его проекция на одну из плоскостей и перпендикуляр, опущенный с одного конца отрезка на другую плоскость, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сам отрезок является гипотенузой (длиной $l$), его проекция — одним катетом (длиной $p$), а расстояние между плоскостями — другим катетом (длиной $h$).

Эта взаимосвязь описывается теоремой Пифагора: $l^2 = p^2 + h^2$.

Для наглядности представим задачу в виде схемы:

В задаче даны два отрезка. Для первого (меньшего) отрезка известны его длина $l_1 = 13$ см и длина его проекции $p_1 = 5$ см. Расстояние $h$ между плоскостями одинаково для обоих отрезков, так как их концы упираются в одни и те же параллельные плоскости. Найдем это расстояние, используя данные для меньшего отрезка:

$h^2 = l_1^2 - p_1^2$

$h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь, зная расстояние между плоскостями ($h = 12$ см) и длину второго (большего) отрезка ($l_2 = 37$ см), мы можем найти длину его проекции $p_2$.

$p_2^2 = l_2^2 - h^2$

$p_2^2 = 37^2 - 12^2 = 1369 - 144 = 1225$

$p_2 = \sqrt{1225} = 35$ см.

Ответ: 35 см.

2.55. Из точки $P$, находящейся на расстоянии $m$ от плоскости $\alpha$, проведены две наклонные $PQ$ и $PR$, которые составляют со своими проекциями угол, равный $30^\circ$. Точка $O$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на плоскость $\alpha$, а $\angle QOR=120^\circ$. Найдите $QR$.

Пусть $PO$ — перпендикуляр, опущенный из точки $P$ на плоскость $\alpha$. Тогда длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $P$ до плоскости $\alpha$, то есть $PO = m$. Точка $O$ является основанием этого перпендикуляра.

$PQ$ и $PR$ — наклонные, проведенные из точки $P$ к плоскости $\alpha$. $OQ$ и $OR$ являются их проекциями на эту плоскость.

Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость — это угол между наклонной и плоскостью. По условию, $\angle PQO = 30^\circ$ и $\angle PRO = 30^\circ$.

Поскольку $PO \perp \alpha$, то $PO$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через точку $O$. Следовательно, треугольники $\triangle POQ$ и $\triangle POR$ — прямоугольные, с прямым углом при вершине $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle POQ$. Катет $PO = m$ противолежит углу $\angle PQO = 30^\circ$. Найдем длину катета $OQ$ (проекции):$OQ = PO \cdot \cot(\angle PQO) = m \cdot \cot(30^\circ) = m\sqrt{3}$.

Аналогично для прямоугольного треугольника $\triangle POR$:$OR = PO \cdot \cot(\angle PRO) = m \cdot \cot(30^\circ) = m\sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle QOR$, который лежит в плоскости $\alpha$. Мы знаем длины двух его сторон $OQ = m\sqrt{3}$ и $OR = m\sqrt{3}$, а также угол между ними $\angle QOR = 120^\circ$.

Для нахождения длины стороны $QR$ применим теорему косинусов для треугольника $\triangle QOR$:$QR^2 = OQ^2 + OR^2 - 2 \cdot OQ \cdot OR \cdot \cos(\angle QOR)$

Подставим известные значения в формулу:$QR^2 = (m\sqrt{3})^2 + (m\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (m\sqrt{3}) \cdot (m\sqrt{3}) \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получим:$QR^2 = 3m^2 + 3m^2 - 2 \cdot 3m^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$QR^2 = 6m^2 + 3m^2$$QR^2 = 9m^2$

Извлекая квадратный корень, находим длину $QR$:$QR = \sqrt{9m^2} = 3m$

Ответ: $3m$