Номер 2.49, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.49. Из концов отрезка длиной 62,5 см к плоскости проведены перпендикуляры, длины которых равны 50 см и 28 см. Найдите расстояние между основаниями этих перпендикуляров.

Пусть дан отрезок $AB$ и плоскость $\alpha$. Из концов отрезка, точек $A$ и $B$, опущены перпендикуляры $AA'$ и $BB'$ на плоскость $\alpha$. Точки $A'$ и $B'$ являются основаниями этих перпендикуляров.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

• Длина отрезка $AB = 62,5$ см.
• Длина перпендикуляра $AA' = 50$ см.
• Длина перпендикуляра $BB' = 28$ см.

Необходимо найти расстояние между основаниями перпендикуляров, то есть длину отрезка $A'B'$.

Поскольку отрезки $AA'$ и $BB'$ оба перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$, они параллельны друг другу. Это означает, что точки $A$, $B$, $B'$, $A'$ лежат в одной плоскости и образуют фигуру — прямоугольную трапецию $ABB'A'$. В этой трапеции $AA'$ и $BB'$ являются параллельными основаниями, а отрезок $A'B'$ является одним из боковых ребер и перпендикулярен основаниям.

Для нахождения длины $A'B'$ воспользуемся дополнительным построением. Проведем из точки $B$ отрезок $BC$, параллельный $A'B'$, до пересечения с прямой $AA'$.

В результате построения мы получили прямоугольник $A'B'BC$ и прямоугольный треугольник $ABC$.

Из свойств прямоугольника $A'B'BC$ следует, что его противоположные стороны равны:

$BC = A'B'$ (это искомая длина)

$CA' = BB' = 28$ см

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ — прямой.

• Гипотенуза $AB$ по условию равна $62,5$ см.
• Катет $BC$ равен искомому расстоянию $A'B'$.
• Катет $AC$ можно найти как разность длин $AA'$ и $CA'$: $AC = AA' - CA' = AA' - BB' = 50 \text{ см} - 28 \text{ см} = 22 \text{ см}$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $ABC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.

Выразим из этой формулы квадрат искомого катета $BC$:

$BC^2 = AB^2 - AC^2$

Подставим числовые значения:

$BC^2 = 62,5^2 - 22^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для упрощения вычислений:

$BC^2 = (62,5 - 22)(62,5 + 22) = 40,5 \cdot 84,5$

$BC^2 = 3422,25$

Теперь найдем длину $BC$, извлекая квадратный корень:

$BC = \sqrt{3422,25} = 58,5$ см.

Поскольку $A'B' = BC$, расстояние между основаниями перпендикуляров составляет $58,5$ см.

Ответ: 58,5 см.