Номер 2.43, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.43. Плоскость $\alpha$, перпендикулярная катету $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$, делит его в отношении $m : n$. В каком отношении плоскость $\alpha$ делит гипотенузу $AB$?

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Тогда $AC$ и $BC$ — его катеты, а $AB$ — гипотенуза.

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна катету $AC$. Пусть она пересекает плоскость треугольника $ABC$ по прямой $l$. Так как плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$, то и линия их пересечения $l$ также перпендикулярна $AC$ ($l \perp AC$).

Поскольку в прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $BC$ также перпендикулярен катету $AC$ ($BC \perp AC$), то прямая $l$ параллельна прямой $BC$ ($l \parallel BC$).

Плоскость $\alpha$ делит треугольник, следовательно, линия пересечения $l$ проходит через его внутреннюю область. Пусть прямая $l$ пересекает катет $AC$ в точке $M$ и гипотенузу $AB$ в точке $N$. Таким образом, треугольник $ABC$ разделяется на две части: треугольник $AMN$ и трапецию $MNCB$.

Из-за того, что $MN \parallel BC$, треугольник $AMN$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle AMN \sim \triangle ABC$).

По условию, плоскость $\alpha$ делит площадь треугольника $ABC$ в отношении $m:n$. Будем считать, что площадь треугольника $AMN$ относится к площади трапеции $MNCB$ как $m:n$.
То есть, $S_{AMN} : S_{MNCB} = m : n$.

Площадь всего треугольника $ABC$ равна сумме площадей его частей: $S_{ABC} = S_{AMN} + S_{MNCB}$.
Найдем отношение площади треугольника $AMN$ к площади треугольника $ABC$:
$ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{S_{AMN}}{S_{AMN} + S_{MNCB}} = \frac{m}{m+n} $.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению соответствующих сторон.
$ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{AN}{AB}\right)^2 $.

Приравнивая два выражения для отношения площадей, получаем:
$ \left(\frac{AN}{AB}\right)^2 = \frac{m}{m+n} $.

Отсюда находим отношение длины отрезка $AN$ к длине всей гипотенузы $AB$:
$ \frac{AN}{AB} = \sqrt{\frac{m}{m+n}} $.

Плоскость $\alpha$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки $AN$ и $NB$. Нам нужно найти их отношение, то есть $AN:NB$.
Выразим $NB$ через $AB$ и $AN$: $NB = AB - AN$.
Теперь найдем искомое отношение:
$ \frac{AN}{NB} = \frac{AN}{AB - AN} $.

Разделим числитель и знаменатель на $AN$:
$ \frac{AN}{NB} = \frac{1}{\frac{AB}{AN} - 1} $.

Мы знаем, что $ \frac{AB}{AN} = \frac{1}{\frac{AN}{AB}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{m}{m+n}}} = \sqrt{\frac{m+n}{m}} $.
Подставим это значение в формулу для отношения:
$ \frac{AN}{NB} = \frac{1}{\sqrt{\frac{m+n}{m}} - 1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{m+n} - \sqrt{m}}{\sqrt{m}}} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m+n} - \sqrt{m}} $.

Если бы отношение площадей было $S_{MNCB} : S_{AMN} = m : n$, то есть $S_{AMN} : S_{MNCB} = n : m$, то в итоговой формуле $m$ и $n$ поменялись бы местами. Так как в условии задачи порядок не уточнен, будем придерживаться первой, более естественной, трактовки.

Ответ: $ \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m+n} - \sqrt{m}} $ или $ \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m+n} - \sqrt{n}} $, в зависимости от того, какая из частей считается первой.