Номер 2.44, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.44. Покажите, что две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны между собой.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть даны две плоскости $α$ и $β$ и прямая $a$. По условию, прямая $a$ перпендикулярна каждой из этих плоскостей:

$a ⊥ α$ и $a ⊥ β$.

Требуется доказать, что плоскости $α$ и $β$ параллельны, то есть $α || β$.

Доказательство:

Предположим, что плоскости $α$ и $β$ не параллельны. Если две плоскости не параллельны, они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $c$. Таким образом, $α ∩ β = c$.

Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $α$ в точке $A$, а плоскость $β$ — в точке $B$. Так как плоскости $α$ и $β$ различны, точки $A$ и $B$ также различны (в противном случае, если бы $A$ и $B$ совпадали, через одну точку проходили бы две различные плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, что невозможно).

Возьмем на прямой пересечения $c$ произвольную точку $C$. Так как точка $C$ лежит на прямой $c$, она принадлежит и плоскости $α$, и плоскости $β$.

Рассмотрим отрезок $AC$. Так как точки $A$ и $C$ лежат в плоскости $α$, то и вся прямая $AC$ лежит в плоскости $α$.

По условию прямая $a$ перпендикулярна плоскости $α$ ($a ⊥ α$). По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $a ⊥ AC$. Это означает, что угол $∠BAC$ является прямым, то есть $∠BAC = 90°$.

Аналогично, рассмотрим отрезок $BC$. Так как точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $β$, то и вся прямая $BC$ лежит в плоскости $β$.

По условию прямая $a$ перпендикулярна плоскости $β$ ($a ⊥ β$). Следовательно, $a ⊥ BC$. Это означает, что угол $∠ABC$ является прямым, то есть $∠ABC = 90°$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Для треугольника $ABC$ имеем:

$∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°$

Подставим известные значения углов:

$90° + 90° + ∠BCA = 180°$

$180° + ∠BCA = 180°$

Отсюда следует, что $∠BCA = 0°$.

Угол, равный нулю, означает, что точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на прямой $a$, то и точка $C$ должна лежать на прямой $a$.

Однако точка $C$ была выбрана как произвольная точка на прямой пересечения $c$. Это означает, что любая точка прямой $c$ лежит на прямой $a$, то есть прямые $a$ и $c$ совпадают.

Если прямые $a$ и $c$ совпадают, то прямая $a$ лежит в плоскостях $α$ и $β$ (поскольку $c$ — линия их пересечения). Но это противоречит исходному условию, что прямая $a$ перпендикулярна этим плоскостям. Прямая не может быть одновременно перпендикулярна плоскости и лежать в ней.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что плоскости $α$ и $β$ не параллельны, было неверным. Следовательно, плоскости $α$ и $β$ не пересекаются, а значит, они параллельны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.