Номер 2.45, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.45. Диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$, а отрезок $OK$ перпендикулярен его диагоналям. Докажите, что расстояния от точки $K$ до прямых, проходящих через стороны ромба, равны между собой.

Пусть дан ромб ABCD, диагонали которого AC и BD пересекаются в точке O. По условию, отрезок OK перпендикулярен его диагоналям, то есть $OK \perp AC$ и $OK \perp BD$.

Поскольку диагонали AC и BD являются пересекающимися прямыми, они задают плоскость, в которой лежит ромб ABCD. Назовем эту плоскость $\pi$. Так как прямая OK перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $\pi$, она перпендикулярна всей плоскости $\pi$, то есть $OK \perp \pi$.

Требуется доказать, что расстояния от точки K до прямых, содержащих стороны ромба (AB, BC, CD, DA), равны между собой.

Обозначим через $H_1, H_2, H_3, H_4$ основания перпендикуляров, опущенных из точки K на прямые AB, BC, CD, DA соответственно. Тогда длины этих перпендикуляров $KH_1, KH_2, KH_3, KH_4$ и являются искомыми расстояниями. По построению мы имеем $KH_1 \perp AB$, $KH_2 \perp BC$, $KH_3 \perp CD$ и $KH_4 \perp DA$.

Рассмотрим отрезок OK как перпендикуляр к плоскости ромба $\pi$, а отрезки $KH_1, KH_2, KH_3, KH_4$ как наклонные к этой плоскости. Тогда отрезки $OH_1, OH_2, OH_3, OH_4$ являются проекциями этих наклонных на плоскость $\pi$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная, проведенная из точки к плоскости, перпендикулярна некоторой прямой в этой плоскости, то и ее проекция перпендикулярна той же прямой. Применительно к нашей задаче: так как $KH_1 \perp AB$, то и ее проекция $OH_1 \perp AB$. Аналогично, $OH_2 \perp BC$, $OH_3 \perp CD$ и $OH_4 \perp DA$. Таким образом, отрезки $OH_1, OH_2, OH_3, OH_4$ являются расстояниями от центра ромба O до его сторон.

В ромбе точка пересечения диагоналей равноудалена от всех его сторон. Это свойство следует из того, что диагонали ромба являются биссектрисами его углов, а любая точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон. Следовательно, длины этих расстояний равны: $OH_1 = OH_2 = OH_3 = OH_4$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OKH_1, \triangle OKH_2, \triangle OKH_3$ и $\triangle OKH_4$. Все они являются прямоугольными с прямым углом при вершине O, так как $OK \perp \pi$, а значит OK перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и отрезкам $OH_1, OH_2, OH_3, OH_4$. В этих треугольниках катет OK является общим, а катеты $OH_1, OH_2, OH_3, OH_4$ равны между собой, как было показано ранее. Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OKH_1, \triangle OKH_2, \triangle OKH_3, \triangle OKH_4$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует и равенство их гипотенуз: $KH_1 = KH_2 = KH_3 = KH_4$. По теореме Пифагора, $KH_i = \sqrt{OK^2 + OH_i^2}$, что также подтверждает их равенство.

Таким образом, расстояния от точки K до прямых, проходящих через стороны ромба, равны между собой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.