Номер 2.38, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.38. К плоскости равностороннего треугольника $ABC$ проведен перпендикуляр $AD$, точка $E$ - середина стороны $BC$.

1) Докажите, что $DE \perp BC$.

2) Найдите $DE$, если $AB = 4 \text{ см}$, $AD = 3 \text{ см}$.

Для наглядности построим чертеж, соответствующий условию задачи.

1) Докажите, что DE ⊥ BC.

По условию, $AD$ - перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$. Следовательно, $AD \perp (ABC)$.
Отрезок $DE$ является наклонной к плоскости $(ABC)$, а отрезок $AE$ - ее проекцией на эту плоскость (поскольку точка $D$ проецируется в точку $A$, а точка $E$ лежит в плоскости и проецируется сама в себя).
Рассмотрим треугольник $ABC$. Он равносторонний, а точка $E$ - середина стороны $BC$. Следовательно, отрезок $AE$ является медианой треугольника $ABC$.
В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также и высотой. Таким образом, $AE \perp BC$.
Теперь применим теорему о трёх перпендикулярах. Она гласит, что если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой.
В нашем случае: - $DE$ - наклонная. - $AE$ - проекция наклонной $DE$ на плоскость $(ABC)$. - $BC$ - прямая в плоскости $(ABC)$.
Поскольку проекция $AE$ перпендикулярна прямой $BC$ ($AE \perp BC$), то по теореме о трёх перпендикулярах и сама наклонная $DE$ перпендикулярна прямой $BC$. То есть, $DE \perp BC$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

2) Найдите DE, если AB = 4 см, AD = 3 см.

Так как $AD \perp (ABC)$, то прямая $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Прямая $AE$ лежит в плоскости $(ABC)$ и проходит через точку $A$, следовательно, $AD \perp AE$.
Это означает, что треугольник $ADE$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DAE = 90^\circ$.
По теореме Пифагора для треугольника $ADE$:
$DE^2 = AD^2 + AE^2$
Нам дана длина $AD = 3$ см. Необходимо найти длину $AE$.
$AE$ - это высота (а также медиана и биссектриса) равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $AB=4$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$ (мы доказали, что $AE \perp BC$, значит $\angle AEB = 90^\circ$). - Гипотенуза $AB = 4$ см. - Катет $BE$ равен половине стороны $BC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, $BC = AB = 4$ см. Следовательно, $BE = \frac{BC}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см. - Найдем катет $AE$ по теореме Пифагора:
$AE^2 = AB^2 - BE^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$
$AE = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.
Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $ADE$ и найдем гипотенузу $DE$:
$DE^2 = AD^2 + AE^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 = 9 + 4 \cdot 3 = 9 + 12 = 21$
$DE = \sqrt{21}$ см.
Ответ: $DE = \sqrt{21}$ см.