Номер 2.36, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.36. Даны плоскости $\alpha$ и $\beta$, $\alpha \parallel \beta$. Из точки $A \in \alpha$ проведены к плоскости $\beta$ перпендикуляр $AB$ и наклонная $AC$. Найдите расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, если $AC = 10$ см, $BC = 6$ см.

По условию задачи даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Из точки $A$, принадлежащей плоскости $\alpha$, к плоскости $\beta$ проведены перпендикуляр $AB$ и наклонная $AC$. Длина наклонной $AC = 10$ см, а длина ее проекции на плоскость $\beta$, то есть отрезка $BC$, равна $6$ см. Требуется найти расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую. В нашем случае таким перпендикуляром является отрезок $AB$. Следовательно, задача сводится к нахождению длины отрезка $AB$.

Рассмотрим отрезки $AB$, $AC$ и $BC$.

$AB$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$.

$AC$ — наклонная к плоскости $\beta$.

$BC$ — проекция наклонной $AC$ на плоскость $\beta$.

По определению перпендикуляра к плоскости, отрезок $AB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $\beta$ и проходящей через его основание — точку $B$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$ и проходит через точку $B$, следовательно, $AB \perp BC$.

Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$). В этом треугольнике $AC$ является гипотенузой, а $AB$ и $BC$ — катетами.

Для нахождения длины катета $AB$ воспользуемся теоремой Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Выразим из формулы квадрат искомого катета $AB$:

$AB^2 = AC^2 - BC^2$

Подставим известные значения длин гипотенузы $AC$ и катета $BC$:

$AB^2 = 10^2 - 6^2$

$AB^2 = 100 - 36$

$AB^2 = 64$

Теперь найдем длину $AB$, извлекая квадратный корень:

$AB = \sqrt{64} = 8$ см.

Поскольку длина перпендикуляра $AB$ и есть расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, то искомое расстояние равно 8 см.

Ответ: 8 см.