Номер 2.42, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.42. Какую фигуру образует множество всех наклонных одинаковой длины, проведенных из одной и той же точки к данной плоскости?

Пусть дана точка $A$, не лежащая в плоскости $\alpha$, и пусть $l$ — постоянная длина наклонных, проведённых из точки $A$ к плоскости $\alpha$.
Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AO$ на плоскость $\alpha$. Длина этого перпендикуляра, $h = AO$, является расстоянием от точки до плоскости и является постоянной величиной для данных точки и плоскости.
Рассмотрим произвольную наклонную $AB$, где точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$. По условию, длина этой наклонной $AB = l$. Отрезок $OB$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.
Треугольник $AOB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$, поскольку перпендикуляр $AO$ к плоскости $\alpha$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание $O$.
Ниже представлена иллюстрация данной геометрической конструкции:

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $AOB$:
$AB^2 = AO^2 + OB^2$
Подставим известные обозначения длин:
$l^2 = h^2 + OB^2$
Выразим из этого уравнения длину проекции $OB$:
$OB^2 = l^2 - h^2$
$OB = \sqrt{l^2 - h^2}$
Поскольку длина наклонной $l$ и расстояние от точки до плоскости $h$ являются постоянными величинами, то и длина проекции $OB$ также является постоянной. Обозначим эту постоянную длину как $r$.
Таким образом, все основания наклонных (все возможные точки $B$) находятся в плоскости $\alpha$ на одинаковом расстоянии $r = \sqrt{l^2 - h^2}$ от точки $O$. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра), есть окружность. Следовательно, основания всех наклонных образуют окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$.
Множество всех наклонных представляет собой совокупность отрезков, соединяющих вершину $A$ со всеми точками этой окружности. Такая пространственная фигура является боковой поверхностью конуса. Вершиной этого конуса является точка $A$, основанием — окружность, образованная основаниями наклонных, высотой — перпендикуляр $AO$, а образующей — сама наклонная длиной $l$.

Ответ: Множество всех таких наклонных образует боковую поверхность конуса.