Номер 2.47, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.47. Отрезок $AK$ перпендикулярен плоскости квадрата $ABCD$. Найдите расстояние от точки $K$ до прямой $BD$, если $AB = 3 \text{ м}$, $BK = 5 \text{ м}$.

Для решения задачи построим пространственный чертеж, отражающий ее условие.

По условию, отрезок $AK$ перпендикулярен плоскости квадрата $(ABCD)$. Это означает, что $AK$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $AK \perp AB$.

Рассмотрим $\triangle AKB$. Так как $AK \perp AB$, этот треугольник является прямоугольным с прямым углом $\angle KAB$. По теореме Пифагора:

$BK^2 = AK^2 + AB^2$

Из условия нам известны длины гипотенузы $BK = 5$ м и катета $AB = 3$ м. Найдем длину второго катета $AK$:

$5^2 = AK^2 + 3^2$

$25 = AK^2 + 9$

$AK^2 = 25 - 9 = 16$

$AK = \sqrt{16} = 4$ м.

Искомое расстояние от точки $K$ до прямой $BD$ — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $K$ к прямой $BD$. Проведем этот перпендикуляр $KO$, где $O$ — точка на прямой $BD$, так что $KO \perp BD$.

Рассмотрим отрезок $AK$ как перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, а отрезок $KO$ — как наклонную к этой плоскости. Тогда отрезок $AO$ является проекцией наклонной $KO$ на плоскость $(ABCD)$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($KO$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BD$), то и ее проекция ($AO$) также перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $AO \perp BD$.

В квадрате $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны. Это означает, что перпендикуляр из вершины $A$ к диагонали $BD$ — это отрезок $AO$, где $O$ является точкой пересечения диагоналей. Таким образом, точка $O$ — это центр квадрата.

Найдем длину отрезка $AO$. В квадрате диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO$ — это половина диагонали $AC$. Найдем длину диагонали $AC$ из прямоугольного треугольника $ABC$ (в квадрате $\angle B = 90^\circ$):

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Так как $ABCD$ — квадрат со стороной 3 м, то $AB = BC = 3$ м.

$AC^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$

$AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ м.

Длина отрезка $AO$ равна:

$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ м.

Теперь рассмотрим $\triangle AKO$. Так как $AK \perp (ABCD)$, то $AK$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через $A$, в том числе и $AO$. Следовательно, $\triangle AKO$ — прямоугольный с прямым углом $\angle KAO$.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $KO$, которая и является искомым расстоянием:

$KO^2 = AK^2 + AO^2$

Подставим найденные значения $AK = 4$ м и $AO = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ м:

$KO^2 = 4^2 + \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 16 + \frac{9 \cdot 2}{4} = 16 + \frac{18}{4} = 16 + \frac{9}{2}$

$KO^2 = \frac{32}{2} + \frac{9}{2} = \frac{41}{2}$

$KO = \sqrt{\frac{41}{2}} = \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{41} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{82}}{2}$ м.

Ответ: $\frac{\sqrt{82}}{2}$ м.