Номер 2.50, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.50. Отрезок $MN$, равный $12$ см, пересекает плоскость в точке $O$. Концы этого отрезка удалены от плоскости на расстояния $1$ см и $3$ см. Найдите $MO$ и $NO$ (рис. $2.25$).

Рис. $2.25$

Пусть дана плоскость $\alpha$. Отрезок $MN$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $O$. Длина отрезка $MN$ равна 12 см.

Опустим из концов отрезка $M$ и $N$ перпендикуляры на плоскость $\alpha$. Пусть $P$ и $Q$ — основания этих перпендикуляров. Тогда $MP \perp \alpha$ и $NQ \perp \alpha$.

Длины этих перпендикуляров равны расстояниям от точек $M$ и $N$ до плоскости $\alpha$. По условию, эти расстояния равны 1 см и 3 см. Таким образом, $MP = 1$ см и $NQ = 3$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle MPO$ и $\triangle NQO$.

Поскольку $MP$ и $NQ$ являются перпендикулярами к плоскости $\alpha$, они перпендикулярны любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через их основания. Прямая $PQ$ лежит в плоскости $\alpha$, значит $MP \perp PQ$ и $NQ \perp PQ$. Следовательно, $\triangle MPO$ и $\triangle NQO$ — прямоугольные треугольники ($\angle MPO = 90^\circ$ и $\angle NQO = 90^\circ$).

Углы $\angle MOP$ и $\angle NOQ$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle MOP = \angle NOQ$.

Так как два угла одного треугольника ($\angle MPO$ и $\angle MOP$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\angle NQO$ и $\angle NOQ$), то треугольники $\triangle MPO$ и $\triangle NQO$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны:

$\frac{MO}{NO} = \frac{MP}{NQ}$

Подставим известные значения длин перпендикуляров $MP = 1$ см и $NQ = 3$ см:

$\frac{MO}{NO} = \frac{1}{3}$

Из этой пропорции выразим $NO$ через $MO$:

$NO = 3 \cdot MO$

Точка $O$ принадлежит отрезку $MN$, следовательно, длина всего отрезка равна сумме длин его частей: $MN = MO + NO$. По условию $MN = 12$ см.

$MO + NO = 12$

Подставим выражение для $NO$ в это уравнение:

$MO + 3 \cdot MO = 12$

$4 \cdot MO = 12$

$MO = \frac{12}{4} = 3$ см.

Теперь найдем длину $NO$:

$NO = 3 \cdot MO = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Ответ: $MO = 3$ см, $NO = 9$ см.