Номер 2.55, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.55. Из точки $P$, находящейся на расстоянии $m$ от плоскости $\alpha$, проведены две наклонные $PQ$ и $PR$, которые составляют со своими проекциями угол, равный $30^\circ$. Точка $O$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на плоскость $\alpha$, а $\angle QOR=120^\circ$. Найдите $QR$.

Пусть $PO$ — перпендикуляр, опущенный из точки $P$ на плоскость $\alpha$. Тогда длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $P$ до плоскости $\alpha$, то есть $PO = m$. Точка $O$ является основанием этого перпендикуляра.

$PQ$ и $PR$ — наклонные, проведенные из точки $P$ к плоскости $\alpha$. $OQ$ и $OR$ являются их проекциями на эту плоскость.

Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость — это угол между наклонной и плоскостью. По условию, $\angle PQO = 30^\circ$ и $\angle PRO = 30^\circ$.

Поскольку $PO \perp \alpha$, то $PO$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через точку $O$. Следовательно, треугольники $\triangle POQ$ и $\triangle POR$ — прямоугольные, с прямым углом при вершине $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle POQ$. Катет $PO = m$ противолежит углу $\angle PQO = 30^\circ$. Найдем длину катета $OQ$ (проекции):$OQ = PO \cdot \cot(\angle PQO) = m \cdot \cot(30^\circ) = m\sqrt{3}$.

Аналогично для прямоугольного треугольника $\triangle POR$:$OR = PO \cdot \cot(\angle PRO) = m \cdot \cot(30^\circ) = m\sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle QOR$, который лежит в плоскости $\alpha$. Мы знаем длины двух его сторон $OQ = m\sqrt{3}$ и $OR = m\sqrt{3}$, а также угол между ними $\angle QOR = 120^\circ$.

Для нахождения длины стороны $QR$ применим теорему косинусов для треугольника $\triangle QOR$:$QR^2 = OQ^2 + OR^2 - 2 \cdot OQ \cdot OR \cdot \cos(\angle QOR)$

Подставим известные значения в формулу:$QR^2 = (m\sqrt{3})^2 + (m\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (m\sqrt{3}) \cdot (m\sqrt{3}) \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получим:$QR^2 = 3m^2 + 3m^2 - 2 \cdot 3m^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$QR^2 = 6m^2 + 3m^2$$QR^2 = 9m^2$

Извлекая квадратный корень, находим длину $QR$:$QR = \sqrt{9m^2} = 3m$

Ответ: $3m$