Номер 2.35, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.35. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $AB$ и наклонная $AC$. Найдите:

1) проекцию $BC$, если $AB = 4 \text{ см}$, $AC = 5 \text{ см}$;

2) $AC$ и $BC$, если $AB = 2,5 \text{ м}$, $\angle ACB = 30^\circ$;

3) $AB$, если $AC = 13 \text{ см}$, $BC = 12 \text{ см}$.

Поскольку AB — перпендикуляр, проведенный из точки A к плоскости α, а AC — наклонная, то отрезок BC, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, является проекцией наклонной AC на плоскость α. Перпендикуляр AB, наклонная AC и ее проекция BC образуют прямоугольный треугольник ABC, в котором угол ∠ABC = 90°. В этом треугольнике AB и BC — катеты, а AC — гипотенуза. Для решения задачи будем использовать теорему Пифагора и тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

1) Дано: перпендикуляр $AB = 4$ см, наклонная $AC = 5$ см. Требуется найти проекцию $BC$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
Выразим из формулы искомый катет $BC$: $BC^2 = AC^2 - AB^2$.
Подставляем известные значения: $BC^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$.
Следовательно, $BC = \sqrt{9} = 3$ см.
Ответ: 3 см.

2) Дано: перпендикуляр $AB = 2,5$ м, угол $\angle ACB = 30°$. Требуется найти наклонную $AC$ и проекцию $BC$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ используем тригонометрические функции.
Синус угла в прямоугольном треугольнике есть отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC}$.
$\sin(30°) = \frac{2.5}{AC}$. Поскольку $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, то $\frac{1}{2} = \frac{2.5}{AC}$, откуда $AC = 2.5 \times 2 = 5$ м.
Тангенс угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему: $\tan(\angle ACB) = \frac{AB}{BC}$.
$\tan(30°) = \frac{2.5}{BC}$. Поскольку $\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2.5}{BC}$, откуда $BC = 2.5\sqrt{3}$ м.
Ответ: $AC = 5$ м, $BC = 2.5\sqrt{3}$ м.

3) Дано: наклонная $AC = 13$ см, ее проекция $BC = 12$ см. Требуется найти перпендикуляр $AB$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
Выразим из формулы искомый катет $AB$: $AB^2 = AC^2 - BC^2$.
Подставляем известные значения: $AB^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$.
Следовательно, $AB = \sqrt{25} = 5$ см.
Ответ: 5 см.