Номер 2.37, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.37. Дано: $AB \perp \alpha, CD \perp \alpha, B \in \alpha, D \in \alpha, AC \cap \alpha = E$ и $AB=CD=4$ см.

1) Докажите, что $BE = DE, AE = CE$.

2) Найдите $AC$ и $BD$, если $\angle BAE = 60^{\circ}$.

1) Докажите, что $BE = DE$, $AE = CE$.

Поскольку отрезки $AB$ и $CD$ перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$, то прямые, содержащие эти отрезки, параллельны друг другу ($AB \parallel CD$).

Параллельные прямые $AB$ и $CD$ определяют единственную плоскость, в которой лежат точки $A, B, C, D$.

По условию, прямая $AC$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $E$. Так как точки $B$ и $D$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $BD$ лежит в плоскости $\alpha$. Поскольку точка $E$ является общей точкой для прямой $AC$ и плоскости $\alpha$, а прямые $AC$ и $BD$ лежат в одной плоскости (определенной точками $A, B, C, D$), то точка $E$ является точкой пересечения прямых $AC$ и $BD$. Это означает, что точки $A, E, C$ лежат на одной прямой, и точки $B, E, D$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CDE$.

1. $\angle AEB = \angle CED$ как вертикальные углы.

2. Так как $AB \parallel CD$, то при секущей $AC$ накрест лежащие углы равны: $\angle BAE = \angle DCE$.

3. По условию дано, что $AB = CD = 4$ см.

Таким образом, $\triangle ABE \cong \triangle CDE$ по признаку равенства треугольников по стороне и двум углам (AAS - угол-угол-сторона), так как $\angle BAE = \angle DCE$, $\angle AEB = \angle CED$ и $AB = CD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $BE = DE$ и $AE = CE$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Найдите $AC$ и $BD$, если $\angle BAE = 60^{\circ}$.

Из условия $AB \perp \alpha$ и того, что прямая $BE$ лежит в плоскости $\alpha$ (являясь частью прямой $BD$), следует, что $AB \perp BE$. Таким образом, $\triangle ABE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$, то есть $\angle ABE = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABE$ нам известны:

• катет $AB = 4$ см
• острый угол $\angle BAE = 60^\circ$

Найдем гипотенузу $AE$ и второй катет $BE$, используя тригонометрические соотношения:

$AE = \frac{AB}{\cos(\angle BAE)} = \frac{4}{\cos(60^\circ)} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.

$BE = AB \cdot \tan(\angle BAE) = 4 \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3}$ см.

Из пункта 1) мы знаем, что точка $E$ является серединой отрезков $AC$ и $BD$, то есть $AE = CE$ и $BE = DE$.

Следовательно, можем найти длины отрезков $AC$ и $BD$:

$AC = AE + CE = 2 \cdot AE = 2 \cdot 8 = 16$ см.

$BD = BE + DE = 2 \cdot BE = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Ответ: $AC = 16$ см, $BD = 8\sqrt{3}$ см.