Номер 2.61, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.61. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1) Покажите все пары взаимно перпендикулярных граней.

2) Найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $ACC_1A_1$.

3) Найдите угол между плоскостями $ACC_1A_1$ и $ABB_1A_1$.

4) Покажите, что плоскости $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$ взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, изображенный на рисунке. Основания куба — квадраты $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ перпендикулярны основаниям.

1) Покажите все пары взаимно перпендикулярных граней. В кубе любая грань перпендикулярна четырем смежным с ней граням. Грани куба: нижняя ($ABCD$), верхняя ($A_1B_1C_1D_1$), передняя ($ABB_1A_1$), задняя ($DCC_1D_1$), левая ($ADD_1A_1$) и правая ($BCC_1B_1$). Пары взаимно перпендикулярных граней:
1. Грань $ABCD$ перпендикулярна граням $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$ и $ADD_1A_1$.
2. Грань $A_1B_1C_1D_1$ перпендикулярна граням $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$ и $ADD_1A_1$.
3. Грань $ABB_1A_1$ перпендикулярна граням $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ (а также верхнему и нижнему основаниям).
4. Грань $DCC_1D_1$ перпендикулярна граням $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ (а также верхнему и нижнему основаниям).
Всего существует 12 уникальных пар взаимно перпендикулярных граней.
Ответ: Пары взаимно перпендикулярных граней — это любая грань и четыре смежные с ней грани. Например, грань $ABCD$ перпендикулярна граням $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $DCC_1D_1$, $ADD_1A_1$. Аналогично для остальных граней.

2) Найдите угол между прямой AB и плоскостью ACC₁A₁. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Прямая $AB$ пересекает плоскость $ACC_1A_1$ в точке $A$. Найдем проекцию точки $B$ на плоскость $ACC_1A_1$.
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ в основании $ABCD$. Так как $ABCD$ — квадрат, его диагонали перпендикулярны, то есть $BD \perp AC$.
Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, значит, $AA_1 \perp BD$.
Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $ACC_1A_1$, то $BD$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1A_1$. Следовательно, отрезок $BO$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на плоскость $ACC_1A_1$, а точка $O$ — проекция точки $B$ на эту плоскость.
Тогда проекцией прямой $AB$ на плоскость $ACC_1A_1$ является прямая $AO$. Искомый угол — это угол $\angle BAO$.
В квадрате $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle DAB$. Так как $\angle DAB = 90^\circ$, то $\angle BAO = \angle BAC = \frac{1}{2} \angle DAB = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

3) Найдите угол между плоскостями ACC₁A₁ и ABB₁A₁. Угол между двумя плоскостями — это двугранный угол, который измеряется линейным углом. Линейный угол образуется двумя перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, проведенными в этих плоскостях из одной точки.
Линией пересечения плоскостей $ACC_1A_1$ и $ABB_1A_1$ является прямая $AA_1$.
В плоскости $ABB_1A_1$ (грань куба) прямая $AB$ перпендикулярна ребру $AA_1$ ($AB \perp AA_1$), так как это смежные стороны квадрата.
Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $AA_1 \perp AC$. Прямая $AC$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$.
Таким образом, мы имеем два перпендикуляра ($AB$ и $AC$) к линии пересечения $AA_1$, проведенные из одной точки $A$. Угол между плоскостями равен углу между этими прямыми, то есть $\angle BAC$.
Как было показано в предыдущем пункте, $\angle BAC = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

4) Покажите, что плоскости ACC₁A₁ и BDD₁B₁ взаимно перпендикулярны. Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости.
Рассмотрим прямую $BD$, которая лежит в плоскости $BDD_1B_1$. Докажем, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ACC_1A_1$.
1. В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны: $BD \perp AC$.
2. Боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Следовательно, $CC_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и диагонали $BD$: $CC_1 \perp BD$.
Прямые $AC$ и $CC_1$ лежат в плоскости $ACC_1A_1$ и пересекаются в точке $C$.
Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $CC_1$) в плоскости $ACC_1A_1$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ACC_1A_1$.
Так как плоскость $BDD_1B_1$ проходит через прямую $BD$, которая перпендикулярна плоскости $ACC_1A_1$, то по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $BDD_1B_1$ перпендикулярна плоскости $ACC_1A_1$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Плоскости $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$ взаимно перпендикулярны.