Номер 2.62, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.62. Величина линейного угла двугранного угла равна: 1) $30^{\circ}$; 2) $45^{\circ}$; 3) $60^{\circ}$. Найдите расстояние от точки А до второй грани, если расстояние от точки А, расположенной в одной грани, до ребра двугранного угла 10 см.

Пусть нам дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями (гранями) $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой (ребру) $e$. В одной из граней, пусть это будет грань $\alpha$, расположена точка A.

По условию, расстояние от точки A до ребра двугранного угла равно 10 см. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки A перпендикуляр AB к ребру $e$ (точка B лежит на $e$). Таким образом, $AB \perp e$ и $AB = 10$ см.

Нам нужно найти расстояние от точки A до второй грани, то есть до плоскости $\beta$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки A на плоскость $\beta$. Проведем перпендикуляр AC к плоскости $\beta$ (точка C лежит в $\beta$). Длина отрезка AC и есть искомое расстояние. Обозначим его $h$, то есть $AC = h$.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как $AC \perp \beta$, то $AC$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $\beta$ и проходящей через точку C. В частности, $AC \perp BC$. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине C ($\angle ACB = 90^\circ$).

В этом построении отрезок AB — это наклонная к плоскости $\beta$, AC — перпендикуляр, а BC — проекция наклонной AB на плоскость $\beta$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($AB$) перпендикулярна прямой ($e$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($BC$) перпендикулярна этой же прямой. Таким образом, $BC \perp e$.

Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя перпендикулярами к ребру, проведенными в гранях из одной точки на ребре. В нашем случае, $AB \perp e$ (в грани $\alpha$) и $BC \perp e$ (в грани $\beta$), и они выходят из одной точки B на ребре. Следовательно, угол $\angle ABC$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим его величину через $\phi$.

В прямоугольном треугольнике ABC:
• $AB$ — гипотенуза ($AB = 10$ см).
• $AC$ — катет, противолежащий углу $\phi$.
• $\angle ABC = \phi$ — линейный угол двугранного угла.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $\sin(\phi) = \frac{AC}{AB}$.Отсюда находим искомое расстояние $AC$:
$AC = AB \cdot \sin(\phi)$
$AC = 10 \cdot \sin(\phi)$

Теперь решим задачу для каждого из заданных значений угла $\phi$.

1) Если величина линейного угла равна $30^\circ$, то $\phi = 30^\circ$.
Расстояние от точки A до второй грани равно:
$AC = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.
Ответ: 5 см.

2) Если величина линейного угла равна $45^\circ$, то $\phi = 45^\circ$.
Расстояние от точки A до второй грани равно:
$AC = 10 \cdot \sin(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.
Ответ: $5\sqrt{2}$ см.

3) Если величина линейного угла равна $60^\circ$, то $\phi = 60^\circ$.
Расстояние от точки A до второй грани равно:
$AC = 10 \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.
Ответ: $5\sqrt{3}$ см.