Номер 2.67, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.67. Концы отрезка $AB$ длиной 6 см удалены от плоскости на расстоянии 5 см и 3 см. Найдите:

1) проекцию отрезка $AB$ на плоскость;

2) угол между прямой $AB$ и плоскостью.

Пусть $\alpha$ — данная плоскость. Пусть $A_1$ и $B_1$ — ортогональные проекции точек A и B на плоскость $\alpha$. Тогда отрезки $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$. Расстояния от концов отрезка до плоскости — это длины этих перпендикуляров.

По условию задачи имеем:

• Длина отрезка: $AB = 6$ см.
• Расстояние от точки A до плоскости $\alpha$: $AA_1 = 5$ см.
• Расстояние от точки B до плоскости $\alpha$: $BB_1 = 3$ см.

Так как отрезки $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$, они параллельны друг другу. Следовательно, точки A, B, $B_1$, $A_1$ лежат в одной плоскости, перпендикулярной плоскости $\alpha$. Фигура $AA_1B_1B$ — это прямоугольная трапеция с основаниями $AA_1$ и $BB_1$ и прямыми углами при вершинах $A_1$ и $B_1$.

Для решения задачи рассмотрим эту трапецию и выполним дополнительное построение.

Проведем из точки B высоту BC на основание $AA_1$. Так как $BC \parallel A_1B_1$ и $A_1B_1 \perp AA_1$, то $BC \perp AA_1$. Таким образом, $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине C.

Фигура $BCA_1B_1$ является прямоугольником, поэтому $BC = A_1B_1$ и $CA_1 = BB_1 = 3$ см.

Найдем длину катета AC в $\triangle ABC$: $AC = AA_1 - CA_1 = 5 \text{ см} - 3 \text{ см} = 2$ см.

1) проекцию отрезка AB на плоскость;

Проекцией отрезка AB на плоскость $\alpha$ является отрезок $A_1B_1$. Длина этого отрезка равна длине отрезка BC. Найдем длину катета BC в прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.

$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 6^2 - 2^2 = 36 - 4 = 32$

$BC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Следовательно, длина проекции $A_1B_1 = BC = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

2) угол между прямой AB и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Обозначим этот угол как $\phi$. Таким образом, нам нужно найти угол между прямой AB и прямой $A_1B_1$.

Так как $BC \parallel A_1B_1$, то искомый угол $\phi$ равен углу $\angle ABC$ в прямоугольном треугольнике ABC.

В $\triangle ABC$ мы можем найти синус этого угла: $\sin(\phi) = \sin(\angle ABC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$

$\sin(\phi) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Отсюда, угол $\phi = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)$.