Номер 2.71, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.71. Даны плоскости $\alpha, \beta, \gamma$, $\alpha \perp \gamma$, $\beta \perp \gamma$ и $\alpha \perp \beta$. Покажите, что прямая $a=\alpha \cap \beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$.

Для доказательства того, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $γ$, мы воспользуемся свойствами перпендикулярных плоскостей и теоремой о единственности перпендикуляра к плоскости.

Дано:

• Плоскости $α$, $β$, $γ$.
• $α \perp γ$ (плоскость $α$ перпендикулярна плоскости $γ$).
• $β \perp γ$ (плоскость $β$ перпендикулярна плоскости $γ$).
• $α \perp β$ (плоскость $α$ перпендикулярна плоскости $β$).
• $a = α \cap β$ (прямая $a$ является линией пересечения плоскостей $α$ и $β$).

Требуется доказать: $a \perp γ$.

Доказательство:

1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $P$. Так как $a = α \cap β$, точка $P$ принадлежит одновременно и плоскости $α$, и плоскости $β$ ($P \in α$ и $P \in β$).

2. По условию, плоскость $α$ перпендикулярна плоскости $γ$. Из свойства перпендикулярных плоскостей следует, что если одна из двух перпендикулярных плоскостей содержит прямую, перпендикулярную их линии пересечения, то эта прямая перпендикулярна и второй плоскости. Более общее следствие гласит, что в плоскости $α$ можно провести прямую, перпендикулярную плоскости $γ$. Проведем через нашу точку $P \in α$ прямую $l_1$ так, что $l_1 \subset α$ и $l_1 \perp γ$.

3. Аналогично, по условию $β \perp γ$. Проведем через ту же точку $P \in β$ прямую $l_2$ так, что $l_2 \subset β$ и $l_2 \perp γ$.

4. Таким образом, мы получили две прямые, $l_1$ и $l_2$, которые проходят через одну и ту же точку $P$ и обе перпендикулярны одной и той же плоскости $γ$.

5. Согласно теореме о единственности перпендикуляра к плоскости, через любую точку пространства можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости. Следовательно, прямые $l_1$ и $l_2$ должны совпадать, то есть $l_1 = l_2$.

6. Прямая $l_1$ лежит в плоскости $α$ ($l_1 \subset α$), а прямая $l_2$ лежит в плоскости $β$ ($l_2 \subset β$). Поскольку $l_1$ и $l_2$ — это одна и та же прямая, эта прямая принадлежит обеим плоскостям $α$ и $β$.

7. По определению, линия пересечения двух плоскостей — это прямая, содержащая все их общие точки. По условию задачи, $a = α \cap β$. Так как совпадающие прямые $l_1$ и $l_2$ лежат в обеих плоскостях, они должны совпадать с линией их пересечения, то есть с прямой $a$. Таким образом, $a = l_1 = l_2$.

8. Из шага 2 (или 3) мы знаем, что $l_1 \perp γ$. Поскольку $a = l_1$, то и прямая $a$ перпендикулярна плоскости $γ$.

Что и требовалось доказать.

Замечание: для данного доказательства условие $α \perp β$ является избыточным. Утверждение верно, даже если плоскости $α$ и $β$ не перпендикулярны друг другу.

Ответ: Доказано, что прямая $a = α \cap β$ перпендикулярна плоскости $γ$.