Номер 2.75, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.75. Дана треугольная пирамида $SABC$, все ребра которой равны между собой. Точка $D$ является серединой ребра $AB$. Покажите, что угол $CDS$ является линейным углом соответствующего двугранного угла.

По условию, дана треугольная пирамида $SABC$, все ребра которой равны между собой. Это означает, что $SABC$ является правильным тетраэдром, и все его грани — равносторонние треугольники.

Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведенными в его гранях из одной точки на ребре. Чтобы показать, что угол $∠CDS$ является линейным углом двугранного угла, нужно доказать, что он образован двумя отрезками ($CD$ и $SD$), перпендикулярными общему ребру $AB$ граней $ABC$ и $SAB$.

1. Рассмотрим основание пирамиды — треугольник $ABC$. Так как все ребра пирамиды равны, то $\triangle ABC$ — равносторонний. Точка $D$ является серединой ребра $AB$ по условию. В равностороннем треугольнике медиана ($CD$) является также и высотой. Следовательно, $CD \perp AB$.

2. Рассмотрим боковую грань — треугольник $SAB$. Аналогично, $\triangle SAB$ является равносторонним. Отрезок $SD$ соединяет вершину $S$ с серединой стороны $AB$, следовательно, $SD$ — медиана $\triangle SAB$. В равностороннем треугольнике медиана также является и высотой. Следовательно, $SD \perp AB$.

Таким образом, отрезки $CD$ и $SD$ лежат в плоскостях граней $ABC$ и $SAB$ соответственно, исходят из одной точки $D$ на общем ребре $AB$ и оба перпендикулярны этому ребру. По определению, угол $∠CDS$ между этими отрезками является линейным углом двугранного угла между гранями $ABC$ и $SAB$ с ребром $AB$.

Ответ: Угол $∠CDS$ является линейным углом двугранного угла между гранями $ABC$ и $SAB$, так как отрезки $CD$ и $SD$, образующие этот угол, перпендикулярны общему ребру $AB$ этих граней и проведены из одной точки $D$ на этом ребре, что и требовалось доказать.