Номер 2.73, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.73. Найдите двугранные углы треугольной пирамиды, все ребра которой равны между собой.

Треугольная пирамида, все ребра которой равны между собой, называется правильным тетраэдром. У правильного тетраэдра все грани являются равными равносторонними треугольниками. В силу симметрии все двугранные углы такого тетраэдра равны. Найдем один из них.

Пусть дан правильный тетраэдр $DABC$, все ребра которого равны $a$. Найдем двугранный угол при ребре основания $BC$. Этот угол образован двумя гранями: плоскостью основания $(ABC)$ и боковой гранью $(DBC)$.

Величина двугранного угла измеряется величиной его линейного угла. Для построения линейного угла проведем в каждой из граней перпендикуляр к общему ребру $BC$ из одной и той же точки.

Пусть $M$ – середина ребра $BC$.

1. В треугольнике $ABC$, который является равносторонним, медиана $AM$ является также и высотой. Следовательно, $AM \perp BC$.

2. В треугольнике $DBC$, который также является равносторонним, медиана $DM$ является также и высотой. Следовательно, $DM \perp BC$.

Таким образом, угол $\angle DMA$ является линейным углом двугранного угла при ребре $BC$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Для нахождения величины угла $\alpha$ рассмотрим треугольник $DMA$ и найдем его стороны:

• Стороны $AM$ и $DM$ являются высотами (и медианами) в равносторонних треугольниках $ABC$ и $DBC$ со стороной $a$. Длина высоты в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Значит, $AM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

• Сторона $AD$ является ребром тетраэдра, поэтому $AD = a$.

Теперь применим к треугольнику $DMA$ теорему косинусов:

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos(\alpha)$

Подставим найденные длины сторон в формулу:

$a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\alpha)$

Упростим выражение:

$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a \ne 0$):

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\alpha)$

Выразим $\cos(\alpha)$:

$\frac{3}{2} \cos(\alpha) = \frac{3}{2} - 1$

$\frac{3}{2} \cos(\alpha) = \frac{1}{2}$

$\cos(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Следовательно, искомый двугранный угол $\alpha$ равен $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$. Так как все двугранные углы правильного тетраэдра равны, это значение является ответом на вопрос задачи.

Ответ: все двугранные углы равны $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.