Номер 2.77, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.77. Наклонная $AB$ составляет с плоскостью $\alpha$ угол в $45^{\circ}$, а прямая $BD$, лежащая в плоскости $\alpha$, составляет угол в $45^{\circ}$ с проекцией $BC$ наклонной $AB$. Найдите угол $ABD$ (рис. 2.39).

Рис. 2.39

По условию задачи, наклонная $AB$ составляет с плоскостью $\alpha$ угол 45°. Проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $BC$. Следовательно, угол между наклонной и её проекцией $\angle ABC = 45°$. Из этого также следует, что $AC$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а значит треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ACB = 90°$.
Также дано, что прямая $BD$, лежащая в плоскости $\alpha$, составляет с проекцией $BC$ угол 45°, то есть $\angle DBC = 45°$.
Требуется найти угол $\angle ABD$.

Для нахождения угла $\angle ABD$ в треугольнике $\triangle ABD$ воспользуемся теоремой косинусов:
$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(\angle ABD)$
Из этой формулы можно выразить косинус искомого угла:
$\cos(\angle ABD) = \frac{AB^2 + BD^2 - AD^2}{2 \cdot AB \cdot BD}$

Чтобы вычислить значение косинуса, найдем квадраты длин сторон треугольника $\triangle ABD$. Так как искомый угол не зависит от конкретных длин отрезков, введем переменные. Пусть длина проекции $BC = a$, а длина отрезка $BD = b$.

1. Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. Так как $\angle ACB = 90°$ и $\angle ABC = 45°$, он является равнобедренным, и его катеты равны: $AC = BC = a$. По теореме Пифагора найдем квадрат гипотенузы $AB$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

2. Теперь найдем квадрат длины стороны $AD$. Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Поскольку $AC$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, а отрезок $CD$ лежит в этой плоскости, то $AC \perp CD$. Это означает, что $\triangle ACD$ — прямоугольный с прямым углом $\angle ACD = 90°$. По теореме Пифагора: $AD^2 = AC^2 + CD^2$. Мы уже знаем, что $AC^2 = a^2$.
Для нахождения $CD^2$, рассмотрим треугольник $\triangle BCD$, который полностью лежит в плоскости $\alpha$. В этом треугольнике известны две стороны $BC = a$, $BD = b$ и угол между ними $\angle DBC = 45°$. Применим к нему теорему косинусов:
$CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos(\angle DBC)$
$CD^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(45°) = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2 + b^2 - ab\sqrt{2}$.
Теперь мы можем найти $AD^2$:
$AD^2 = AC^2 + CD^2 = a^2 + (a^2 + b^2 - ab\sqrt{2}) = 2a^2 + b^2 - ab\sqrt{2}$.

3. Подставим найденные значения $AB^2$, $BD^2 = b^2$ и $AD^2$ в формулу для косинуса угла $\angle ABD$:
$\cos(\angle ABD) = \frac{AB^2 + BD^2 - AD^2}{2 \cdot AB \cdot BD} = \frac{2a^2 + b^2 - (2a^2 + b^2 - ab\sqrt{2})}{2 \cdot \sqrt{2a^2} \cdot b}$
$\cos(\angle ABD) = \frac{2a^2 + b^2 - 2a^2 - b^2 + ab\sqrt{2}}{2 \cdot a\sqrt{2} \cdot b} = \frac{ab\sqrt{2}}{2ab\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

4. Зная косинус угла, находим сам угол:
$\angle ABD = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60°$.

Ответ: $60°$