Номер 2.81, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.81. Линейный угол двугранного угла равен $\phi$. На ребре этого угла взяты точки $A$ и $B$, к которым проведены перпендикуляры $AC$ и $BD$, лежащие в разных гранях. Найдите $CD$, если $AB = a$, $AC = b$, $BD = c$.

Для решения задачи воспользуемся методом проекций. Пусть ребро двугранного угла — это прямая, на которой лежат точки A и B. Обозначим плоскости граней как α (содержащую AC) и β (содержащую BD). По условию, `AC \perp AB` и `BD \perp AB`.

Спроецируем точку C из плоскости α на плоскость β. Пусть C' — проекция точки C. Тогда отрезок CC' перпендикулярен плоскости β. Из этого следует, что треугольник $CDC'$ — прямоугольный с прямым углом при вершине C'.

Изобразим данную конфигурацию:

По теореме Пифагора для пространственного треугольника $CDC'$:

$CD^2 = (CC')^2 + (C'D)^2$

Теперь найдем длины катетов $CC'$ и $C'D$.

1. Нахождение длины CC'

Длина отрезка $CC'$ равна расстоянию от точки C до плоскости β. Поскольку $AC$ перпендикулярен ребру двугранного угла, а линейный угол равен φ, то расстояние от C до плоскости β вычисляется как:

$CC' = AC \cdot \sin{φ} = b \cdot \sin{φ}$

2. Нахождение длины C'D

Точки A, B, D и C' лежат в одной плоскости β. Рассмотрим их расположение в этой плоскости. Прямая AB является ребром угла. Отрезок $BD$ перпендикулярен $AB$. Проекция C' точки C на плоскость β лежит на перпендикуляре к $AB$, проведенном из точки A в плоскости β. Длина проекции отрезка AC на эту плоскость равна:

$AC' = AC \cdot \cos{φ} = b \cdot \cos{φ}$

В плоскости β фигура $AC'DB$ является прямоугольной трапецией с основаниями $AC'$ и $BD$, перпендикулярными к боковой стороне $AB$. (Мы предполагаем, что перпендикуляры AC и BD направлены по одну сторону от ребра, что является стандартной трактовкой для таких задач).

Изобразим эту трапецию на плоскости:

Для нахождения длины стороны $C'D$ проведем из C' отрезок $C'E$, параллельный $AB$, где точка E лежит на $BD$. Получим прямоугольник $ABEC'$, следовательно, $C'E = AB = a$ и $BE = AC' = b \cos{φ}$.

Длина отрезка $ED$ равна разности длин оснований: $ED = |BD - BE| = |c - b \cos{φ}|$.

В прямоугольном треугольнике $C'ED$ по теореме Пифагора:

$(C'D)^2 = (C'E)^2 + (ED)^2 = a^2 + (c - b \cos{φ})^2$

3. Итоговый расчет

Теперь подставим найденные выражения для $(CC')^2$ и $(C'D)^2$ в исходную формулу:

$CD^2 = (b \sin{φ})^2 + [a^2 + (c - b \cos{φ})^2]$

$CD^2 = b^2 \sin^2{φ} + a^2 + c^2 - 2bc \cos{φ} + b^2 \cos^2{φ}$

Сгруппируем слагаемые с $b^2$:

$CD^2 = a^2 + c^2 - 2bc \cos{φ} + b^2(\sin^2{φ} + \cos^2{φ})$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2{φ} + \cos^2{φ} = 1$, получаем:

$CD^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2bc \cos{φ}$

Отсюда находим искомую длину $CD$:

Ответ: $CD = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - 2bc \cos{φ}}$