Номер 2.85, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.85. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, угол между прямыми $B_1 C$ и $DC_1$ равен $60^\circ$, $B_1 C = DC_1$. Определите вид четырехугольника $BB_1 C_1 C$.

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — заданный прямоугольный параллелепипед. Введем обозначения для длин его ребер, выходящих из одной вершины, например, $C$: $CD = a$, $CB = b$, $CC_1 = c$.

Четырехугольник $BB_1C_1C$, вид которого нам нужно определить, является боковой гранью этого параллелепипеда. Поскольку параллелепипед прямоугольный, все его грани являются прямоугольниками. Следовательно, $BB_1C_1C$ — это прямоугольник. Его смежные стороны — это ребра $BC$ и $BB_1$. Длины этих сторон равны $b$ и $c$ соответственно. Чтобы полностью определить вид этого прямоугольника, нужно выяснить соотношение между $b$ и $c$. Если окажется, что $b=c$, то данный прямоугольник будет являться квадратом.

Проанализируем данные условия задачи.Первое условие: $B_1C = DC_1$.$B_1C$ — это диагональ грани $BB_1C_1C$. Эта грань является прямоугольником со сторонами $BC=b$ и $BB_1=c$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle CBB_1$, квадрат длины диагонали равен:$B_1C^2 = BC^2 + BB_1^2 = b^2 + c^2$.$DC_1$ — это диагональ грани $DD_1C_1C$. Эта грань является прямоугольником со сторонами $DC=a$ и $DD_1=c$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle CDC_1$, квадрат длины диагонали равен:$DC_1^2 = DC^2 + CC_1^2 = a^2 + c^2$.Из условия $B_1C = DC_1$ следует, что $B_1C^2 = DC_1^2$, то есть:$b^2 + c^2 = a^2 + c^2$$b^2 = a^2$Поскольку $a$ и $b$ — это длины ребер, они являются положительными величинами. Следовательно, $a = b$. Этот результат означает, что в основании параллелепипеда лежит квадрат.

Второе условие: угол между скрещивающимися прямыми $B_1C$ и $DC_1$ равен $60^\circ$.Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным. Выполним параллельный перенос одной из прямых. Например, перенесем прямую $B_1C$.Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1CD$. Ребро $A_1B_1$ параллельно и равно ребру $DC$ (так как $A_1B_1CD$ образуют две противоположные грани). Следовательно, $A_1B_1CD$ — это параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому прямая $B_1C$ параллельна прямой $A_1D$.Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми $B_1C$ и $DC_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $A_1D$ и $DC_1$. Эти прямые пересекаются в точке $D$, поэтому искомый угол равен $\angle A_1DC_1$ в треугольнике $\triangle A_1DC_1$. Из условия задачи следует, что $\angle A_1DC_1 = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1DC_1$ и найдем длины его сторон.Сторона $A_1D$ — это диагональ грани $AA_1D_1D$. Грань $AA_1D_1D$ — прямоугольник со сторонами $AD$ и $AA_1$. Так как $AD=BC=b$ и $AA_1=CC_1=c$, то по теореме Пифагора $A_1D^2 = AD^2 + AA_1^2 = b^2 + c^2$.Сторона $DC_1$ — это диагональ грани $DD_1C_1C$. Как мы уже выяснили, $DC_1^2 = a^2 + c^2$.Сторона $A_1C_1$ — это диагональ верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Эта грань — прямоугольник со сторонами $A_1D_1=AD=b$ и $D_1C_1=DC=a$. По теореме Пифагора $A_1C_1^2 = A_1D_1^2 + D_1C_1^2 = b^2 + a^2$.

Теперь объединим все полученные результаты. Мы знаем, что $a = b$. Подставим это в выражения для сторон треугольника $\triangle A_1DC_1$:$A_1D^2 = b^2 + c^2$$DC_1^2 = a^2 + c^2 = b^2 + c^2$Из этого следует, что $A_1D = DC_1$, то есть треугольник $\triangle A_1DC_1$ — равнобедренный.Поскольку угол при вершине $D$ этого равнобедренного треугольника, $\angle A_1DC_1$, равен $60^\circ$, то треугольник $\triangle A_1DC_1$ является не просто равнобедренным, а равносторонним.В равностороннем треугольнике все стороны равны, значит $A_1D = DC_1 = A_1C_1$.Возьмем равенство $DC_1 = A_1C_1$ и возведем обе части в квадрат: $DC_1^2 = A_1C_1^2$.Подставим их выражения через $a, b, c$:$a^2 + c^2 = b^2 + a^2$Так как $a=b$, это равенство можно записать как $b^2 + c^2 = b^2 + b^2$.Упрощая, получаем:$c^2 = b^2$Поскольку $b$ и $c$ — положительные величины, отсюда следует, что $c = b$.

Итак, мы установили, что $b=c$. Это означает, что смежные стороны $BC$ и $BB_1$ прямоугольника $BB_1C_1C$ равны по длине. Прямоугольник с равными сторонами является квадратом.

Ответ: Квадрат.