Номер 2.87, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.87. Через точку A плоскости $\alpha$ проведены наклонная $a$ и прямая $b$, лежащая в этой плоскости. Найдите $\angle(a; c)$, если $c$ является проекцией прямой $a$ на плоскость $\alpha$ и $\angle(a; b) = \varphi$, $\angle(c; b) = \Psi$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Пусть искомый угол между наклонной $a$ и ее проекцией $c$ равен $\theta$, то есть $\angle(a; c) = \theta$.

1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$.

2. Направим ось $Ox$ вдоль прямой $c$, которая является проекцией наклонной $a$. Так как прямые $b$ и $c$ лежат в плоскости $\alpha$, разместим эту плоскость в координатной плоскости $Oxy$.

3. Выберем на прямых $a$, $b$ и $c$ направляющие векторы единичной длины.

- Прямая $c$ совпадает с осью $Ox$, поэтому ее направляющий вектор $\vec{c} = (1; 0; 0)$.

- Прямая $b$ лежит в плоскости $Oxy$ и образует с прямой $c$ (осью $Ox$) угол $\psi = \angle(c; b)$. Ее направляющий вектор $\vec{b} = (\cos\psi; \sin\psi; 0)$.

- Наклонная $a$ образует с ее проекцией $c$ (осью $Ox$) искомый угол $\theta$. Так как $c$ является ортогональной проекцией $a$, плоскость, содержащая прямые $a$ и $c$, перпендикулярна плоскости $\alpha$. В нашей системе координат это плоскость $Oxz$. Таким образом, направляющий вектор наклонной $a$ будет $\vec{a} = (\cos\theta; 0; \sin\theta)$. Мы предполагаем, что угол $\theta$ острый, поэтому $\sin\theta \ge 0$.

4. Угол между прямыми $a$ и $b$ равен $\phi$. Косинус угла между прямыми можно найти через скалярное произведение их направляющих векторов:

$\cos\phi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Поскольку мы выбрали векторы единичной длины, $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$.

Найдем скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot \cos\theta \cdot \cos\psi + 0 \cdot \sin\psi + \sin\theta \cdot 0 = \cos\theta \cos\psi$

Таким образом, мы получаем соотношение, известное как теорема о трех косинусах:

$\cos\phi = \cos\theta \cos\psi$

5. Из этого соотношения выразим косинус искомого угла $\theta$:

$\cos\theta = \frac{\cos\phi}{\cos\psi}$

Отсюда находим сам угол $\theta$:

$\theta = \arccos\left(\frac{\cos\phi}{\cos\psi}\right)$

Этот результат имеет смысл, если $|\frac{\cos\phi}{\cos\psi}| \le 1$, что геометрически означает, что угол между наклонной и прямой в плоскости не может быть меньше угла между проекцией наклонной и той же прямой ($\phi \ge \psi$ для острых углов).

Ответ: $\angle(a; c) = \arccos\left(\frac{\cos\phi}{\cos\psi}\right)$