Практическая работа, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

1. Изобразите треугольную пирамиду так, чтобы основание высоты:

1) совпадало с точкой пересечения медиан треугольника при основании;

2) совпадало с одной из вершин основания;

3) находилось на середине одной из сторон основания;

4) находилось вне треугольника при основании.

2. Выполните задание 1 для четырехугольной пирамиды, основанием которой служит квадрат.

3. Постройте изображение знакомых вам многогранников:

1) куба;

2) параллелепипеда.

1. Изобразите треугольную пирамиду так, чтобы основание высоты:

1) совпало с точкой пересечения медиан треугольника при основании;

Для построения пирамиды $SABC$, у которой основание высоты совпадает с точкой пересечения медиан основания, необходимо выполнить следующие шаги. Сначала изобразим основание — треугольник $ABC$. Затем проведем в нем медианы (например, $AM_1$ и $BM_2$), которые пересекаются в точке $O$. Эта точка $O$, называемая центроидом треугольника, и будет основанием высоты. Далее из точки $O$ восстановим перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$ и на этом перпендикуляре выберем точку $S$ — вершину пирамиды. Отрезок $SO$ является высотой пирамиды. Если основание $\triangle ABC$ — равносторонний треугольник, то такая пирамида называется правильной.

Ответ: Изображение пирамиды представлено выше.

2) совпало с одной из вершин основания;

В этом случае высота пирамиды совпадает с одним из ее боковых ребер. Пусть основанием высоты является вершина $A$ основания $ABC$. Это означает, что боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $\triangle ABC$. Следовательно, ребро $SA$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости, например, сторонам $AB$ и $AC$. Треугольники $\triangle SAB$ и $\triangle SAC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $A$.

Ответ: Изображение пирамиды представлено выше.

3) находилось на середине одной из сторон основания;

Пусть основание высоты $H$ находится на середине стороны $AC$ основания $\triangle ABC$. Для построения проведем высоту $SH$ из точки $H$ перпендикулярно плоскости основания. Соединим вершину $S$ с вершинами основания $A$, $B$ и $C$. В этом случае высота пирамиды $SH$ также является медианой и высотой в боковой грани $\triangle SAC$, поэтому эта грань является равнобедренным треугольником ($SA=SC$).

Ответ: Изображение пирамиды представлено выше.

4) находилось вне треугольника при основании.

Для построения такой пирамиды, называемой наклонной, выберем точку $H$ (основание высоты) вне треугольника основания $ABC$. Из точки $H$ восстановим перпендикуляр к плоскости основания и на нем отметим вершину $S$. Соединим $S$ с вершинами $A, B, C$. Высота $SH$ в данном случае будет лежать вне самой пирамиды.

Ответ: Изображение пирамиды представлено выше.

2. Выполните задание 1 для четырехугольной пирамиды, основанием которой служит квадрат.

1) Основание высоты совпадает с точкой пересечения диагоналей квадрата.

Для квадрата точка пересечения диагоналей является его центром. Пирамида, у которой вершина проецируется в центр правильного многоугольника в основании, называется правильной. Изобразим основание $ABCD$ в виде параллелограмма (так как мы смотрим на квадрат в перспективе). Проведем диагонали $AC$ и $BD$, найдем их точку пересечения $O$. Из точки $O$ восстановим перпендикуляр $SO$ к плоскости основания, где $S$ — вершина пирамиды. $SO$ — высота пирамиды.

Ответ: Изображение правильной четырехугольной пирамиды представлено выше.

2) Основание высоты совпадает с одной из вершин квадрата.

Пусть основание высоты совпадает с вершиной $A$ квадрата $ABCD$. Тогда боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания. Это значит, что боковые грани $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$ являются прямоугольными треугольниками. Ребро $SA$ является высотой пирамиды.

Ответ: Изображение пирамиды представлено выше.

3) Основание высоты находится на середине одной из сторон квадрата.

Пусть основание высоты $H$ является серединой стороны $AD$. Из точки $H$ восстановим перпендикуляр $SH$ к плоскости основания. Боковая грань $\triangle SAD$ будет равнобедренным треугольником ($SA=SD$), а ее высота $SH$ будет являться и высотой всей пирамиды.

Ответ: Изображение пирамиды представлено выше.

4) Основание высоты находится вне квадрата.

Выберем точку $H$ вне квадрата $ABCD$. Из точки $H$ проведем перпендикуляр $SH$ к плоскости основания. Соединив точку $S$ с вершинами квадрата, получим наклонную пирамиду, высота которой находится вне многогранника.

Ответ: Изображение пирамиды представлено выше.

3. Постройте изображение знакомых вам многогранников:

1) куба;

Куб — это правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны, все углы прямые. Для изображения куба в перспективе (аксонометрической проекции) его переднюю грань часто рисуют в виде квадрата, а рёбра, уходящие вглубь, — под углом к горизонтали и с некоторым укорочением. Невидимые рёбра изображаются пунктирными линиями.

Ответ: Изображение куба представлено выше.

2) параллелепипеда.

Параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них — параллелограмм. Куб является частным случаем параллелепипеда. В общем случае грани параллелепипеда — произвольные параллелограммы. Параллелепипед может быть прямым (боковые ребра перпендикулярны основанию) или наклонным (боковые ребра не перпендикулярны основанию). Ниже представлен наклонный параллелепипед.

Ответ: Изображение параллелепипеда представлено выше.