Номер 2.92, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.92. В каких случаях проекция отрезка на плоскость $\alpha$:

1) равна самому отрезку;

2) есть точка?

Под ортогональной проекцией отрезка на плоскость понимается отрезок, соединяющий ортогональные проекции его концов на эту плоскость. Длина проекции отрезка связана с длиной самого отрезка и углом между прямой, содержащей отрезок, и плоскостью.

Пусть дан отрезок $AB$ и плоскость $\alpha$. Пусть $A'B'$ — его ортогональная проекция на плоскость $\alpha$. Длина проекции вычисляется по формуле: $ |A'B'| = |AB| \cdot \cos(\varphi) $, где $\varphi$ — угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$ ($0^\circ \leq \varphi \leq 90^\circ$).

1) Проекция отрезка равна самому отрезку

Проекция отрезка $A'B'$ равна самому отрезку $AB$, если их длины равны: $|A'B'| = |AB|$.
Исходя из формулы, это условие выполняется, когда:$|AB| \cdot \cos(\varphi) = |AB|$.

Так как длина отрезка $|AB|$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $|AB|$:$\cos(\varphi) = 1$.

Косинус угла равен 1, только если сам угол равен $0^\circ$. Таким образом, $\varphi = 0^\circ$.Угол между прямой и плоскостью равен нулю, если прямая параллельна плоскости или лежит в ней.Следовательно, проекция отрезка на плоскость равна самому отрезку, если отрезок параллелен плоскости проекции (или лежит в ней).

Ответ: Проекция отрезка на плоскость равна самому отрезку в том случае, если отрезок параллелен этой плоскости или лежит в ней.

2) Проекция отрезка есть точка

Проекция отрезка $A'B'$ является точкой, если ее длина равна нулю: $|A'B'| = 0$. Это означает, что точки $A'$ и $B'$ совпадают.
Используя ту же формулу, получаем:$|AB| \cdot \cos(\varphi) = 0$.

Поскольку мы рассматриваем отрезок, его длина $|AB|$ не равна нулю. Следовательно, равенство может выполняться только если:$\cos(\varphi) = 0$.

Косинус угла равен нулю, если угол равен $90^\circ$. Таким образом, $\varphi = 90^\circ$.Угол между прямой и плоскостью равен $90^\circ$, если прямая перпендикулярна этой плоскости.Следовательно, проекция отрезка на плоскость является точкой, если отрезок лежит на прямой, перпендикулярной плоскости проекции.

Ответ: Проекция отрезка на плоскость есть точка в том случае, если отрезок перпендикулярен этой плоскости.