Номер 2.97, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.97. Ортогональная проекция равнобедренного треугольника есть равносторонний треугольник со стороной 6 см, одна сторона которого является основанием данного равнобедренного треугольника. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его плоскость образует с плоскостью проектирования угол, равный:

1) $30^\circ$

2) $45^\circ$

3) $60^\circ$ (рис. 2.59).

Рис. 2.59

Для решения задачи воспользуемся свойством ортогональной проекции: площадь проекции многоугольника равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Пусть $S$ — искомая площадь равнобедренного треугольника, $S_{пр}$ — площадь его ортогональной проекции, а $\phi$ — угол между их плоскостями. Тогда $S_{пр} = S \cdot \cos(\phi)$.

По условию, проекцией является равносторонний треугольник со стороной $a = 6$ см. Найдем его площадь $S_{пр}$ по формуле площади равностороннего треугольника:

$S_{пр} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Из формулы для площади проекции выразим искомую площадь $S$ равнобедренного треугольника:

$S = \frac{S_{пр}}{\cos(\phi)} = \frac{9\sqrt{3}}{\cos(\phi)}$

Теперь, используя эту формулу, найдем площадь для каждого из заданных углов $\phi$.

1) Если угол $\phi = 30°$, то $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$S = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 9\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 18$ см².

Ответ: 18 см².

2) Если угол $\phi = 45°$, то $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$S = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{6}}{2} = 9\sqrt{6}$ см².

Ответ: $9\sqrt{6}$ см².

3) Если угол $\phi = 60°$, то $\cos(60°) = \frac{1}{2}$.

$S = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 9\sqrt{3} \cdot 2 = 18\sqrt{3}$ см².

Ответ: $18\sqrt{3}$ см².

Ниже приведена иллюстрация, поясняющая геометрическую ситуацию. Равнобедренный треугольник $ABC$ (синий) проецируется на плоскость, образуя равносторонний треугольник $DBC$ (серый). Основание $BC$ является общим для обоих треугольников и лежит на линии пересечения плоскостей. Вершина $A$ проецируется в точку $D$.