Номер 2.102, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.102. Может ли неравнобедренная трапеция быть проекцией равнобедренной трапеции? А наоборот?

Рассмотрим оба вопроса по отдельности, предполагая, что речь идет об ортогональном проецировании одной плоскости на другую.

Может ли неравнобедренная трапеция быть проекцией равнобедренной трапеции?

Да, может. Пусть в пространстве в плоскости $\Pi_1$ расположена равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и равными боковыми сторонами $AB=CD$. Произведем ортогональное проецирование этой трапеции на некоторую плоскость $\Pi_2$. Проекцией будет трапеция $A'B'C'D'$ с параллельными основаниями $A'D'$ и $B'C'$.

Длина проекции отрезка на плоскость вычисляется по формуле $L_{про} = L_{исх} \cdot \cos(\alpha)$, где $L_{исх}$ — исходная длина отрезка, а $\alpha$ — угол между отрезком и плоскостью проекции $\Pi_2$.

Таким образом, длины боковых сторон проекции будут равны:

$A'B' = AB \cdot \cos(\alpha_{AB})$

$C'D' = CD \cdot \cos(\alpha_{CD})$

где $\alpha_{AB}$ и $\alpha_{CD}$ — углы, которые образуют стороны $AB$ и $CD$ с плоскостью $\Pi_2$ соответственно.Поскольку исходная трапеция равнобедренная, $AB = CD$. Чтобы проекция $A'B'C'D'$ была неравнобедренной, необходимо, чтобы $A'B' \neq C'D'$. Это условие будет выполнено, если $\cos(\alpha_{AB}) \neq \cos(\alpha_{CD})$, то есть $\alpha_{AB} \neq \alpha_{CD}$.

Такую ситуацию легко смоделировать. Достаточно расположить плоскость $\Pi_1$ с трапецией так, чтобы ее боковые стороны $AB$ и $CD$ были наклонены под разными углами к плоскости проекции $\Pi_2$. Например, если повернуть трапецию в плоскости $\Pi_1$ так, чтобы одна из боковых сторон стала почти параллельна плоскости $\Pi_2$ (малый угол $\alpha$), а другая — нет. Тогда косинус этого угла будет близок к 1, и эта сторона спроецируется почти без искажения, в то время как другая сторона, имеющая больший угол наклона, спроецируется со значительным уменьшением длины.

Ответ: да, может.

А наоборот?

Да, это также возможно. Равнобедренная трапеция может быть проекцией неравнобедренной трапеции.Пусть в плоскости $\Pi_1$ находится неравнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем ее боковые стороны не равны, например, $AB > CD$. Мы хотим спроецировать ее на плоскость $\Pi_2$ так, чтобы получить равнобедренную трапецию $A'B'C'D'$, то есть чтобы выполнялось равенство $A'B' = C'D'$.

Используя ту же формулу для длин проекций, мы имеем:

$A'B' = AB \cdot \cos(\alpha_{AB})$

$C'D' = CD \cdot \cos(\alpha_{CD})$

Мы хотим добиться выполнения условия $A'B' = C'D'$, что эквивалентно:

$AB \cdot \cos(\alpha_{AB}) = CD \cdot \cos(\alpha_{CD})$

Поскольку по условию $AB > CD$, для выполнения этого равенства необходимо, чтобы $\cos(\alpha_{AB}) < \cos(\alpha_{CD})$. Так как косинус является убывающей функцией для углов от $0^\circ$ до $90^\circ$, это означает, что угол наклона длинной стороны $AB$ к плоскости проекции должен быть больше угла наклона короткой стороны $CD$: $\alpha_{AB} > \alpha_{CD}$.

Это вполне достижимо. Нужно расположить исходную трапецию так, чтобы ее более длинная боковая сторона была наклонена к плоскости проекции под большим углом, чем короткая. За счет этого более сильного "укорачивания" при проецировании длина ее проекции может стать равной длине проекции более короткой стороны. Варьируя угол наклона плоскости $\Pi_1$ и ориентацию трапеции на ней, можно подобрать такие углы $\alpha_{AB}$ и $\alpha_{CD}$, чтобы равенство выполнилось.

Ответ: да, может.