Номер 2.106, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.106. Ребро куба равно $a$. Найдите длину отрезка, соединяющего середины двух скрещивающихся ребер.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть одна из вершин куба, например, вершина $A$, находится в начале координат $(0,0,0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Так как длина ребра куба равна $a$, то вершины куба будут иметь следующие координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $C(a,a,0)$, $B_1(a,0,a)$, $D_1(0,a,a)$, $C_1(a,a,a)$.

Скрещивающиеся ребра — это ребра, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. В силу симметрии куба, расстояние между серединами любой пары скрещивающихся ребер будет одинаковым. Выберем для расчета два скрещивающихся ребра, например, ребро $AB$ и ребро $CC_1$.

Найдем координаты середин выбранных ребер.
Пусть $M$ — середина ребра $AB$. Координаты точки $M$ вычисляются как среднее арифметическое координат точек $A(0,0,0)$ и $B(a,0,0)$:$M = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$
Пусть $N$ — середина ребра $CC_1$. Координаты точки $N$ вычисляются как среднее арифметическое координат точек $C(a,a,0)$ и $C_1(a,a,a)$:$N = \left(\frac{a+a}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(a, a, \frac{a}{2}\right)$

Теперь найдем длину отрезка $MN$, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$Подставим координаты точек $M(\frac{a}{2}, 0, 0)$ и $N(a, a, \frac{a}{2})$:$MN = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + (a - 0)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2}$$MN = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$$MN = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2 + \frac{a^2}{4}}$$MN = \sqrt{\frac{2a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + a^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}}$Упростим выражение:$MN = \frac{\sqrt{3a^2}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Ответ: Длина отрезка, соединяющего середины двух скрещивающихся ребер куба, равна $\frac{a\sqrt{6}}{2}$.