Номер 2.112, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.112. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 8 см. Найдите площадь ортогональной проекции треугольника $AB_1C$ на:

1) плоскость $ABCD$;

2) плоскость $AA_1C_1C$.

Дано: куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a = 8$ см.
Нужно найти площадь ортогональной проекции треугольника $AB_1C$ на две плоскости.

На рисунке исходный треугольник $AB_1C$ закрашен синим цветом. Проекция на плоскость $ABCD$ закрашена красным, а проекция на плоскость $AA_1C_1C$ — зеленым.

1) плоскость ABCD

Ортогональная проекция фигуры на плоскость — это множество проекций всех точек этой фигуры на данную плоскость. Найдем проекции вершин треугольника $AB_1C$ на плоскость основания $ABCD$.

- Вершина $A$ лежит в плоскости $ABCD$, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $A$.
- Вершина $C$ лежит в плоскости $ABCD$, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $C$.
- Ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости $ABCD$, следовательно, проекцией точки $B_1$ на эту плоскость является точка $B$.

Таким образом, ортогональной проекцией треугольника $AB_1C$ на плоскость $ABCD$ является треугольник $ABC$.

Так как $ABCD$ — грань куба, то это квадрат. Значит, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Его катеты $AB$ и $BC$ являются ребрами куба, длина которых равна 8 см.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ вычисляется как половина произведения его катетов:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$ см².

Ответ: 32 см².

2) плоскость AA₁C₁C

Теперь найдем ортогональную проекцию треугольника $AB_1C$ на диагональную плоскость $AA_1C_1C$.

- Вершины $A$ и $C$ лежат в плоскости $AA_1C_1C$, поэтому их проекции совпадают с самими точками.
- Чтобы найти проекцию вершины $B_1$, опустим из нее перпендикуляр на плоскость $AA_1C_1C$. Диагональ $B_1D_1$ верхней грани перпендикулярна диагонали $A_1C_1$ (так как $A_1B_1C_1D_1$ - квадрат). Ребро $AA_1$ перпендикулярно всей верхней грани, а значит, и прямой $B_1D_1$. Так как прямая $B_1D_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($A_1C_1$ и $AA_1$) в плоскости $AA_1C_1C$, она перпендикулярна всей этой плоскости. Проекцией точки $B_1$ на плоскость $AA_1C_1C$ является точка $O_1$ — центр верхней грани (точка пересечения диагоналей $A_1C_1$ и $B_1D_1$).

Следовательно, проекцией треугольника $AB_1C$ на плоскость $AA_1C_1C$ является треугольник $AO_1C$.

Найдем площадь этого треугольника. Его основание $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.
$AC = 8\sqrt{2}$ см.

Высотой треугольника $AO_1C$, проведенной из вершины $O_1$ к основанию $AC$, является перпендикуляр, опущенный из $O_1$ на прямую $AC$. Сечение $AA_1C_1C$ является прямоугольником. Точка $O_1$ лежит на стороне $A_1C_1$, которая параллельна стороне $AC$. Расстояние между этими параллельными сторонами равно длине бокового ребра $AA_1$. Следовательно, высота треугольника $AO_1C$ равна $h = AA_1 = 8$ см.

Площадь треугольника $AO_1C$ равна:
$S_{AO_1C} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8 = 32\sqrt{2}$ см².

Ответ: $32\sqrt{2}$ см².