Номер 2.108, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.108. Параллелограмм со сторонами $a$ и $b$ и острым углом между ними в $45^\circ$ является ортогональной проекцией ромба, один из углов которого равен $120^\circ$. Найдите сторону ромба, если угол между плоскостями ромба и параллелограмма равен $60^\circ$.

Пусть сторона ромба равна $x$. Один из углов ромба равен $120^\circ$, следовательно, второй угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Площадь ромба $S_{ромб}$ можно вычислить по формуле площади параллелограмма через две стороны и угол между ними:

$S_{ромб} = x \cdot x \cdot \sin(60^\circ) = x^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Параллелограмм является ортогональной проекцией ромба. Площадь ортогональной проекции фигуры $S_{пр}$ связана с площадью исходной фигуры $S_{фиг}$ и углом $\phi$ между их плоскостями соотношением:

$S_{пр} = S_{фиг} \cdot \cos(\phi)$.

В нашем случае, угол между плоскостями ромба и параллелограмма равен $\phi = 60^\circ$. Таким образом, площадь параллелограмма (проекции) равна:

$S_{пар} = S_{ромб} \cdot \cos(60^\circ) = \left(x^2 \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{x^2\sqrt{3}}{4}$.

С другой стороны, по условию задачи, проекцией является параллелограмм со сторонами $a$ и $b$ и острым углом между ними $45^\circ$. Его площадь равна:

$S_{пар} = a \cdot b \cdot \sin(45^\circ) = ab \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Приравнивая два выражения для площади параллелограмма, получаем связь между сторонами $a$, $b$ и стороной ромба $x$:

$ab \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{x^2\sqrt{3}}{4}$

$ab = \frac{x^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{x^2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{x^2\sqrt{6}}{4}$. (1)

Теперь рассмотрим диагонали. Диагонали ромба $d_1$ и $d_2$ можно найти, зная его сторону $x$ и углы. Они взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

$d_1 = 2x \sin\frac{60^\circ}{2} = 2x \sin(30^\circ) = 2x \cdot \frac{1}{2} = x$.

$d_2 = 2x \cos\frac{60^\circ}{2} = 2x \cos(30^\circ) = 2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = x\sqrt{3}$.

Проекциями диагоналей ромба являются диагонали параллелограмма, обозначим их $D_1$ и $D_2$. Длина проекции отрезка зависит от его ориентации относительно линии пересечения плоскостей. Пусть одна из диагоналей ромба ($d_1$) образует угол $\theta$ с линией пересечения плоскостей. Так как диагонали ромба перпендикулярны, вторая диагональ ($d_2$) будет образовывать угол $90^\circ + \theta$ с этой же линией. Длина проекции отрезка $L$ вычисляется по формуле $L_{пр}^2 = L^2 (1 - \sin^2\phi \sin^2\psi)$, где $\psi$ — угол между отрезком и линией пересечения плоскостей.

$D_1^2 = d_1^2 (1 - \sin^2(60^\circ)\sin^2\theta) = x^2(1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2\sin^2\theta) = x^2(1 - \frac{3}{4}\sin^2\theta)$.

$D_2^2 = d_2^2 (1 - \sin^2(60^\circ)\sin^2(90^\circ+\theta)) = (x\sqrt{3})^2(1 - \frac{3}{4}\cos^2\theta) = 3x^2(1 - \frac{3}{4}\cos^2\theta)$.

С другой стороны, для параллелограмма со сторонами $a$, $b$ и углами $45^\circ$ и $135^\circ$ квадраты диагоналей по теореме косинусов равны:

$D_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(45^\circ) = a^2 + b^2 - ab\sqrt{2}$.

$D_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(135^\circ) = a^2 + b^2 + ab\sqrt{2}$.

Вычтем одно из другого:

$D_2^2 - D_1^2 = (a^2 + b^2 + ab\sqrt{2}) - (a^2 + b^2 - ab\sqrt{2}) = 2ab\sqrt{2}$.

Подставим сюда выражение (1) для $ab$:

$D_2^2 - D_1^2 = 2 \left(\frac{x^2\sqrt{6}}{4}\right)\sqrt{2} = \frac{x^2\sqrt{12}}{2} = \frac{x^2 \cdot 2\sqrt{3}}{2} = x^2\sqrt{3}$.

Теперь приравняем это выражение к разности квадратов проекций диагоналей, которые мы получили ранее:

$x^2\sqrt{3} = 3x^2(1 - \frac{3}{4}\cos^2\theta) - x^2(1 - \frac{3}{4}\sin^2\theta)$.

Сократим на $x^2$ (поскольку $x \ne 0$):

$\sqrt{3} = 3 - \frac{9}{4}\cos^2\theta - 1 + \frac{3}{4}\sin^2\theta = 2 - \frac{9}{4}\cos^2\theta + \frac{3}{4}(1-\cos^2\theta)$.

$\sqrt{3} = 2 - \frac{9}{4}\cos^2\theta + \frac{3}{4} - \frac{3}{4}\cos^2\theta$.

$\sqrt{3} = \frac{11}{4} - \frac{12}{4}\cos^2\theta = \frac{11}{4} - 3\cos^2\theta$.

$3\cos^2\theta = \frac{11}{4} - \sqrt{3} \implies \cos^2\theta = \frac{11 - 4\sqrt{3}}{12}$.

Это уравнение определяет ориентацию ромба относительно линии пересечения плоскостей. Однако, все использованные соотношения являются однородными уравнениями второй степени относительно переменных $a, b, x$. Это означает, что если $(a,b,x)$ является решением, то и $(ka, kb, kx)$ для любого $k > 0$ также будет решением. Таким образом, имеющихся в задаче данных недостаточно для однозначного определения величины $x$. Для любой стороны ромба $x$ можно найти соответствующую ориентацию и получить в проекции параллелограмм с углом $45^\circ$.

Ответ: На основе предоставленных данных невозможно однозначно определить сторону ромба. Задача, вероятно, содержит ошибку или неполные условия.