Номер 2.109, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.109. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды (основание пирамиды есть квадрат, а центр квадрата является основанием высоты пирамиды), сторона основания которой равна $a$, а боковое ребро равно $b$.

Для нахождения высоты правильной четырехугольной пирамиды воспользуемся теоремой Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют высота пирамиды $h$, боковое ребро $b$ и половина диагонали основания.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание со стороной $a$, а $S$ — вершина пирамиды. Высота $SO=h$ проведена из вершины $S$ к центру основания $O$. Боковое ребро, например $SB$, по условию равно $b$.

Треугольник $SOB$ является прямоугольным, так как высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости (в частности, отрезку $OB$). В этом треугольнике:
• гипотенуза $SB$ равна боковому ребру $b$;
• катет $SO$ — это искомая высота $h$;
• катет $OB$ — это половина диагонали основания.

Согласно теореме Пифагора: $SO^2 + OB^2 = SB^2$, что можно записать как $h^2 + OB^2 = b^2$.

Для того чтобы найти $h$, нам нужно сначала вычислить длину отрезка $OB$. $OB$ — это половина диагонали $BD$ квадрата $ABCD$. Найдем длину диагонали $BD$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABD$ (угол $A=90^\circ$):
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
Следовательно, длина диагонали $BD = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Так как точка $O$ является центром квадрата (точкой пересечения диагоналей), она делит диагональ $BD$ пополам:
$OB = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим найденное значение $OB$ в уравнение для высоты:
$h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = b^2$

Упростим полученное выражение:
$h^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{4} = b^2$
$h^2 + \frac{a^2}{2} = b^2$

Наконец, выразим высоту $h$ из этого уравнения:
$h^2 = b^2 - \frac{a^2}{2}$
$h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}$

Ответ: $h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}$